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楼主: mathematica

[提问] 这道初中还是高中几何题有简单解法吗?

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 楼主| 发表于 2020-5-22 09:07:51 | 显示全部楼层
这类问题,还是用微积分简单自然!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-23 07:17:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-23 15:39 编辑
dlpg070 发表于 2020-5-22 08:49
回复王守恩,
编码计算已完成,利用 NMinimize 编码,很简单,很快
已采用多种方法验算,你再验算一下,有 ...

是这样吗?

记:\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\circ)}{AB}\bigg)=k^\circ\)

猜想:\(\D\frac{CE(30^\circ)}{CF(30^\circ)}=\frac{CE(60^\circ)}{CF(60^\circ)}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-5-23 09:37:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-5-24 08:50 编辑
王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗?

已知:\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF}{AB}\bi ...

  1. Clear["Global`*"];
  2. (*b=1*)
  3. (*建立坐标系,原点在左下角,45度角放在右上角,坐标是(a,b)*)
  4. k1=(b-y)/(a-0)
  5. k2=(b-0)/(a-x)
  6. (*对应的是45度角*)
  7. kk=(k2-k1)/(1+k2*k1)-1//FullSimplify
  8. (*用x来表示y*)
  9. ans=Flatten@Solve[kk==0,{y}]
  10. (*计算长度的平方*)
  11. aaa=x^2+y^2/.ans//FullSimplify
  12. (*求导数,合并成一项,分解因式*)
  13. bbb=D[aaa,x]//Factor
  14. (*求导数的零点*)
  15. ccc=Solve[bbb==0,{x}]//FullSimplify
复制代码


一个点是(x,0),一个点是(0,y)

你说的对,

EF的平方的函数是:
\[\frac{\left(a^2-2 a x+b^2+x^2\right) \left(a^2+b^2-2 b x+x^2\right)}{(-a-b+x)^2}\]
求导数得到
\[\frac{2 \left(a^2-2 a x+b^2-2 b x+x^2\right) \left(2 a b-a x-b x+x^2\right)}{(-a-b+x)^3}\]

求解零点得到
\[\begin{array}{c}
x\to -\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
x\to \sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
x\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
\end{array}\]

点评

这是用解析几何的办法的求解  发表于 2020-5-23 09:38
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-23 09:48:19 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗?

已知:\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF}{AB}\bi ...

根据hujunhua 的精湛理论分析和王守恩的神奇的想象力,得
FE最小值公式 FEmin=Sqrt[2]*(a+b-Sqrt[2*a*b]) 测试无误,没有反例,
祝贺王守恩
见测试实例为了简单,快速,用NMinimize求解数值最小值)
FEmin 是数值解

k a  b  FEmin   AE转角(度) a+b-Sqrt[2*a*b] Sqrt[2]*(a+b-Sqrt[2*a*b])
1 2  4  2.82843 0.         2.              2.82843
2 8  15 10.618  1.87837    7.50807         10.618
3 8  14 9.94669 3.94972    7.03337         9.94669
4 8  13 9.30241 6.24335    6.57779         9.30241
5 8  12 8.68835 8.79398    6.14359         8.68835
6 8  11 8.10839 11.6426    5.7335          8.10839
7 8  10 7.5673  14.8375    5.35089         7.5673
8 8  9  7.07107 18.4349    5.              7.07107
9 8  8  6.62742 22.5       4.68629         6.62742

点评

你又把问题从45度扩展到30 60度,猜想容易,但要证明或验证或反正就不容易了,有点力不从心  发表于 2020-5-23 20:45
12#的猜想已经改了。  发表于 2020-5-23 16:55
成立,已经贴出代码  发表于 2020-5-23 16:46
12#的猜想能成立吗?  发表于 2020-5-23 15:42
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-5-23 16:43:46 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗?

记:\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\c ...

你的公式正确,给出验证代码和计算结果
  1. (* 验证 王守恩 12#  FE公式正确 求解 OK
  2. 我以前使用的是另外一个计算公式
  3. NMinimize 快
  4. Minimize  慢
  5. 例题:a=8,b=9
  6. *)
  7. Clear["Global`*"]
  8. a=8;b=9;
  9. (* 由王守恩12#公式 *)
  10. CF=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])];
  11. EF2=CE^2+(b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])])^2;
  12. Clear[ansm];
  13. ansm=NMinimize[{EF2,0<=CE<= a },CE(*,WorkingPrecision\[Rule]50 *)];
  14. EFmin=Sqrt[ansm[[1]]];
  15. CEmin=CE/.ansm[[2]];
  16. CFmin=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CEmin)/b])];
  17. Print["最小值 FE=",N[EFmin]," CE=",N[CEmin]," CF=",N[CFmin]]
  18. Print["=== end === "]
复制代码

输出:
最小值 FE=7.07107 CE=5. CF=5.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-23 16:43:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-23 16:47 编辑
王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗?

记:\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\c ...


你的12#公式正确,给出验证代码和计算结果
  1. (* 验证 王守恩 12#  FE公式正确 求解 OK
  2. 我以前使用的是另外一个计算公式
  3. NMinimize 快
  4. Minimize  慢
  5. 例题:a=8,b=9
  6. *)
  7. Clear["Global`*"]
  8. a=8;b=9;
  9. (* 由王守恩12#公式 *)
  10. CF=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])];
  11. EF2=CE^2+(b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])])^2;
  12. Clear[ansm];
  13. ansm=NMinimize[{EF2,0<=CE<= a },CE(*,WorkingPrecision\[Rule]50 *)];
  14. EFmin=Sqrt[ansm[[1]]];
  15. CEmin=CE/.ansm[[2]];
  16. CFmin=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CEmin)/b])];
  17. Print["最小值 FE=",N[EFmin]," CE=",N[CEmin]," CF=",N[CFmin]]
  18. Print["=== end === "]
复制代码

输出:
最小值 FE=7.07107 CE=5. CF=5.
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发表于 2020-5-23 21:52:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-24 05:29 编辑
dlpg070 发表于 2020-5-23 09:48
根据hujunhua 的精湛理论分析和王守恩的神奇的想象力,得
FE最小值公式 FEmin=Sqrt[2]*(a+b-Sqrt[2*a*b]) ...

谢谢 hujunhua 2楼的启示!

继续猜想!奇妙的数字!

BF,DE,EC 3 个数是 1 组勾股数!

即:\(\D(BF)^2+(DE)^2=(EC)^2\)

点评

当EF为最小值的条件下,此猜想成立  发表于 2020-5-26 08:48
公式的含义与 17 楼同,希望把题目搞透切,公式简单。  发表于 2020-5-25 20:14
猜想成立  发表于 2020-5-25 19:22
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发表于 2020-5-24 07:31:13 | 显示全部楼层
还有比这还简单的吗?

\(\D\frac{AB}{BF}=\frac{BF}{EC-ED}\)

点评

在EF为最小值条件下,此猜想成立  发表于 2020-5-26 09:15
我之所以发问,因为我计算结果与你猜想不同,客气的提醒,希望你拿出猜想的依据或实例,我肯定是没有搞透彻  发表于 2020-5-26 08:23
公式的含义与 17 楼同,希望把题目搞透切,公式简单。  发表于 2020-5-25 20:16
公式的含义与18楼同,字母参考6楼的图。  发表于 2020-5-25 19:53
公式的含义? 对吗? 举例!  发表于 2020-5-25 19:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-5-24 07:55:06 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-5-23 09:37
一个点是(x,0),一个点是(0,y)

你说的对,求导数得到

继续猜想!接12楼。

记:\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(45-k)^\circ}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(45-k)^\circ}{AB}\bigg)=(45-k)^\circ\)

猜想:\(\D\frac{CE(45-k)^\circ}{CF(45-k)^\circ}=\frac{CE(45+k)^\circ}{CF(45+k)^\circ}\)

点评

能把30°,60°的发一个?学习学习,很多按钮我不会。  发表于 2020-5-26 14:41
对于角EAF不等于45度,EF的最小值是一个特别长的 表达式,我解出来了,有什么用呢,如果需要,可以发给你  发表于 2020-5-26 14:14
说到点子上了:角EAF不一定等于45度? 扩展了原问题?解是怎么样的?  发表于 2020-5-26 13:16
是不是角EAF不一定等于45度? 扩展了原问题? 你没做任何说明,让人如何把题目搞透彻?  发表于 2020-5-26 08:15
注意:k ≠0 时,CE≠CF 是肯定的。就是希望把题目搞得透切一点。  发表于 2020-5-25 20:44
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-5-24 08:30:14 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-5-24 07:55
继续猜想!接12楼。

记:\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(45-k)^\circ}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\fr ...

题目的本质就是求
在双曲线的约数条件下,
求到原点的距离的最小值。
双曲线是
\[-a^2+a x+a y-b^2+b x+b y-x y=0\]
修改一下就是
\[(x-(a+b))(y-(a+b))=2ab\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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