这道初中还是高中几何题有简单解法吗？

mathematica

这类问题，还是用微积分简单自然！

王守恩

dlpg070 发表于 2020-5-22 08:49
回复王守恩,
编码计算已完成,利用 NMinimize 编码,很简单,很快
已采用多种方法验算,你再验算一下,有 ...

是这样吗？

记：\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\circ)}{AB}\bigg)=k^\circ\)

猜想：\(\D\frac{CE(30^\circ)}{CF(30^\circ)}=\frac{CE(60^\circ)}{CF(60^\circ)}\)

mathematica

王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗？

已知：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF}{AB}\bi ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*b=1*)
   
3. (*建立坐标系，原点在左下角，45度角放在右上角，坐标是(a,b)*)
   
4. k1=(b-y)/(a-0)
   
5. k2=(b-0)/(a-x)
   
6. (*对应的是45度角*)
   
7. kk=(k2-k1)/(1+k2*k1)-1//FullSimplify
   
8. (*用x来表示y*)
   
9. ans=Flatten@Solve[kk==0,{y}]
   
10. (*计算长度的平方*)
    
11. aaa=x^2+y^2/.ans//FullSimplify
    
12. (*求导数，合并成一项，分解因式*)
    
13. bbb=D[aaa,x]//Factor
    
14. (*求导数的零点*)
    
15. ccc=Solve[bbb==0,{x}]//FullSimplify
    

复制代码

一个点是(x,0),一个点是(0,y)

你说的对，

EF的平方的函数是：
\[\frac{\left(a^2-2 a x+b^2+x^2\right) \left(a^2+b^2-2 b x+x^2\right)}{(-a-b+x)^2}\]
求导数得到
\[\frac{2 \left(a^2-2 a x+b^2-2 b x+x^2\right) \left(2 a b-a x-b x+x^2\right)}{(-a-b+x)^3}\]

求解零点得到
\[\begin{array}{c}
x\to -\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
x\to \sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
x\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
\end{array}\]

dlpg070

王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗？

已知：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF}{AB}\bi ...

根据hujunhua 的精湛理论分析和王守恩的神奇的想象力,得
FE最小值公式 FEmin=Sqrt[2]*(a+b-Sqrt[2*a*b]) 测试无误,没有反例,
祝贺王守恩
见测试实例为了简单,快速,用NMinimize求解数值最小值)
FEmin 是数值解

k a  b  FEmin   AE转角(度) a+b-Sqrt[2*a*b] Sqrt[2]*(a+b-Sqrt[2*a*b])
1 2  4  2.82843 0.         2.              2.82843
2 8  15 10.618  1.87837    7.50807         10.618
3 8  14 9.94669 3.94972    7.03337         9.94669
4 8  13 9.30241 6.24335    6.57779         9.30241
5 8  12 8.68835 8.79398    6.14359         8.68835
6 8  11 8.10839 11.6426    5.7335          8.10839
7 8  10 7.5673  14.8375    5.35089         7.5673
8 8  9  7.07107 18.4349    5.              7.07107
9 8  8  6.62742 22.5       4.68629         6.62742

dlpg070

王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗？

记：\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\c ...

你的公式正确,给出验证代码和计算结果

1. (* 验证 王守恩 12#  FE公式正确 求解 OK
   
2. 我以前使用的是另外一个计算公式
   
3. NMinimize 快
   
4. Minimize  慢
   
5. 例题:a=8,b=9
   
6. *)
   
7. Clear["Global`*"]
   
8. a=8;b=9;
   
9. (* 由王守恩12#公式 *)
   
10. CF=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])];
    
11. EF2=CE^2+(b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])])^2;
    
12. Clear[ansm];
    
13. ansm=NMinimize[{EF2,0<=CE<= a },CE(*,WorkingPrecision\[Rule]50 *)];
    
14. EFmin=Sqrt[ansm[[1]]];
    
15. CEmin=CE/.ansm[[2]];
    
16. CFmin=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CEmin)/b])];
    
17. Print["最小值 FE=",N[EFmin]," CE=",N[CEmin]," CF=",N[CFmin]]
    
18. Print["=== end === "]
    

复制代码

输出:
最小值 FE=7.07107 CE=5. CF=5.

dlpg070

王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗？

记：\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\c ...

你的12#公式正确,给出验证代码和计算结果

1. (* 验证 王守恩 12#  FE公式正确 求解 OK
   
2. 我以前使用的是另外一个计算公式
   
3. NMinimize 快
   
4. Minimize  慢
   
5. 例题:a=8,b=9
   
6. *)
   
7. Clear["Global`*"]
   
8. a=8;b=9;
   
9. (* 由王守恩12#公式 *)
   
10. CF=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])];
    
11. EF2=CE^2+(b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])])^2;
    
12. Clear[ansm];
    
13. ansm=NMinimize[{EF2,0<=CE<= a },CE(*,WorkingPrecision\[Rule]50 *)];
    
14. EFmin=Sqrt[ansm[[1]]];
    
15. CEmin=CE/.ansm[[2]];
    
16. CFmin=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CEmin)/b])];
    
17. Print["最小值 FE=",N[EFmin]," CE=",N[CEmin]," CF=",N[CFmin]]
    
18. Print["=== end === "]
    

复制代码

输出:
最小值 FE=7.07107 CE=5. CF=5.

王守恩

dlpg070 发表于 2020-5-23 09:48
根据hujunhua 的精湛理论分析和王守恩的神奇的想象力,得
FE最小值公式 FEmin=Sqrt[2]*(a+b-Sqrt[2*a*b]) ...

谢谢 hujunhua 2楼的启示！

继续猜想！奇妙的数字！

BF,DE,EC 3 个数是 1 组勾股数！

即：\(\D(BF)^2+(DE)^2=(EC)^2\)

王守恩

还有比这还简单的吗？

\(\D\frac{AB}{BF}=\frac{BF}{EC-ED}\)

王守恩

mathematica 发表于 2020-5-23 09:37
一个点是(x,0),一个点是(0,y)

你说的对，求导数得到

继续猜想！接12楼。

记：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(45-k)^\circ}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(45-k)^\circ}{AB}\bigg)=(45-k)^\circ\)

猜想：\(\D\frac{CE(45-k)^\circ}{CF(45-k)^\circ}=\frac{CE(45+k)^\circ}{CF(45+k)^\circ}\)

mathematica

王守恩 发表于 2020-5-24 07:55
继续猜想！接12楼。

记：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(45-k)^\circ}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\fr ...

题目的本质就是求
在双曲线的约数条件下，
求到原点的距离的最小值。
双曲线是
\[-a^2+a x+a y-b^2+b x+b y-x y=0\]
修改一下就是
\[(x-(a+b))(y-(a+b))=2ab\]