圆外切四边形的四内心共圆问题

dlsh

Mathematica计算不了，高手指点一下. 胡俊华的问题2.rar (18.74 KB, 下载次数: 22)

2020-9-28 21:30 上传

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creasson

hujunhua 发表于 2020-9-24 00:23
现在也许可以比较全面地回答这个问题了：
1、记对角线交点为E，P在外切四边形内时，应满足 ∠APB+∠CPD=2 ...

采用1#2# 所设参数表示，终于代数地证明了逆向结论:  如果点P满足∠APB+∠CPD=2∠AEB, 且使得四内心共圆,那么四边形是圆外切四边形。原结论1仍是没办法直接地证明。  
计算量非常大，Mathematica几乎已无法处理, 而且化简需要一些特殊处理，整个证明可以说极其丑陋，为什么如此简单优美的结论却找不到一个简洁的证明？ 是代数系统的不完善还是仍有巧妙的方法体系没找到？

creasson

复平面上0,1,x+yi的三角形，其内心满足方程：
\[2 z^2 (x+i y) \left(i x^2+i y^2+y-i\right)+2 z^3 (y-i x) (x-i y-1)-2 i z (x-i y-1) (x+i y)^2+y (x+i y)^2+y z^4=0\]

hujunhua

creasson

新增两个结论:
1.  四边形ABCD有内切圆，P满足角APB=角CPD，△PAB，△PBC，△PCD，△PAD的内切圆分别为⊙I1，⊙I2，⊙I3，⊙I4。证明：这四圆有一公切线。（注：四内心是共圆的，结论为24#之2）

https://tieba.baidu.com/p/6423014920
2.  ABCD是圆O的外切四边形，E是对角线交点，圆P与边AE,ED相切且与圆O内切，其余点Q,R,S类似定义。证明：P,Q,R,S四点共圆。

https://tieba.baidu.com/p/7008632056
从这几例可窥见圆外切四边形的性质是非常丰富的，但目前对它的研究还很浅，应该是有一套简易方法 ...

creasson

黄利兵老师对此问题有深入研究，但未见太多的介绍，仅搜到一相关文章
一道平面几何题的探索过程.pdf (165.84 KB, 下载次数: 37)

2020-10-12 11:32 上传

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hujunhua

creasson 发表于 2020-10-12 11:32
黄利兵老师对此问题有深入研究，但未见太多的介绍，仅搜到一相关文章

论文解决的就是25#镖形情况下的问题。
只是轨迹圆的描述条件不一样，论文中给的条件表明它是一个阿波罗尼斯圆。

dlsh

线段性质

获得了对称表达式，其中的M1~M4表示对应线段中点，有关线段的结论用复数简单一些。

creasson

终于代数地直接证明了hujunhua在23#的结论1：当P点在圆外切四边形ABCD内，且∠APB+∠CPD=2∠AEB时，四个小三角形△APB、△BPC、△CPD、△DPA的内心共圆。
消元过程非常繁琐，简写下主要步骤:
首先，如2#，令
\[\mathop {PB}\limits^ \to   = \frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s{{\left( {1 - it} \right)}^2}}}\mathop {PA}\limits^ \to  ,\mathop {PC}\limits^ \to   = \frac{{\left( {u + v} \right)\left( {1 - uv} \right)}}{{u{{\left( {1 - iv} \right)}^2}}}\mathop {PB}\limits^ \to  \]
\[\mathop {PD}\limits^ \to   = \frac{{\left( {p + q} \right)\left( {1 - pq} \right)}}{{p{{\left( {1 + iq} \right)}^2}}}\mathop {PA}\limits^ \to  ,\mathop {PC}\limits^ \to   = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{x{{\left( {1 + iy} \right)}^2}}}\mathop {PD}\limits^ \to  \]
以上也可以视作是以P=0,A=1所建立的复平面上的参数表示，各参数均取正实数且$1 - st > 0,1 - uv > 0,1 - pq > 0,1 - xy > 0$，显然应有
\[\frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s{{\left( {1 - it} \right)}^2}}}\frac{{\left( {u + v} \right)\left( {1 - uv} \right)}}{{u{{\left( {1 - iv} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {p + q} \right)\left( {1 - pq} \right)}}{{p{{\left( {1 + iq} \right)}^2}}}\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{x{{\left( {1 + iy} \right)}^2}}}\]
取实虚部可分离得到两个方程，不过其中一个方程可由角度关系$ \left( \angle APB + \angle BPC \right) + \left( \angle APD + \angle DPC \right) = 2\pi $得到，为
\[\frac{{t + v}}{{1 - tv}} + \frac{{q + y}}{{1 - qy}} = 0\]
这样设参之后，各边长及各小三角形内心均可有理表示出来：
\[AB = \frac{{t\left( {1 + {s^2}} \right)}}{{s\left( {1 + {t^2}} \right)}}PA,BC = \frac{{v\left( {1 + {u^2}} \right)}}{{u\left( {1 + {v^2}} \right)}}PB = \frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s\left( {1 + {t^2}} \right)}}\frac{{v\left( {1 + {u^2}} \right)}}{{u\left( {1 + {v^2}} \right)}}PA\]
\[AD = \frac{{q\left( {1 + {p^2}} \right)}}{{p\left( {1 + {q^2}} \right)}}PA,CD = \frac{{y\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{x\left( {1 + {y^2}} \right)}}PD = \frac{{\left( {p + q} \right)\left( {1 - pq} \right)}}{{p\left( {1 + {q^2}} \right)}}\frac{{y\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{x\left( {1 + {y^2}} \right)}}PA\]
\[\mathop {P{I_1}}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{1 - st}}{{1 - it}}\mathop {PA}\limits^ \to  ,\mathop {P{I_2}}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{1 - uv}}{{1 - iv}}\mathop {PB}\limits^ \to  ,\mathop {P{I_3}}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{1 - pq}}{{1 + iq}}\mathop {PA}\limits^ \to  ,\mathop {P{I_4}}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{1 - xy}}{{1 + iy}}\mathop {PD}\limits^ \to  \]
对边之和相等：$AB + CD = BC + AD$
然后，我们计算E点，并代入条件∠APB+∠CPD=2∠AEB可得另一等式。
以上四个等式即为所有的条件，直接用于证明四内心共圆并不方便，我们需要将其化为最简。
可以将s,t,u,v固定, 将p,q,x,y视为关于s,t,u,v的函数（4个自由维度），又经试验，归约到q是更简化的，所得化简结果为：
q满足一个二次方程：
\[-s^2 u^4 v^3 t^5-s^2 v^3 t^5-2 s^2 u^2 v^3 t^5-q s^2 u^4 v^2 t^5-q s^2 v^2 t^5-2 q s^2 u^2 v^2 t^5-2 s^3 u^3 v^4 t^4-4 q^2 s u^3 v^4 t^4-2 s u^3 v^4 t^4+8 q^2 s^2 u^2 v^4 t^4-4 q^2 s^3 u v^4 t^4-2 s^3 u v^4 t^4-2 s u v^4 t^4-2 s^3 u^4 v^3 t^4-q s^2 u^4 v^3 t^4-2 q^2 s u^4 v^3 t^4+2 q^2 s^3 v^3 t^4-2 q s^3 u^3 v^3 t^4+8 q^2 s^2 u^3 v^3 t^4+2 q s u^3 v^3 t^4-q s^2 v^3 t^4-6 q^2 s^3 u^2 v^3 t^4-2 s^3 u^2 v^3 t^4-10 q s^2 u^2 v^3 t^4+6 q^2 s u^2 v^3 t^4+2 s u^2 v^3 t^4+2 s v^3 t^4+2 q s^3 u v^3 t^4-8 q^2 s^2 u v^3 t^4-2 q s u v^3 t^4-2 q s^3 u^4 v^2 t^4+q^2 s^2 u^4 v^2 t^4+2 s^2 u^4 v^2 t^4+2 q s u^4 v^2 t^4-2 q s^3 v^2 t^4-2 q^2 s^3 u^3 v^2 t^4-8 q s^2 u^3 v^2 t^4+2 q^2 s u^3 v^2 t^4+q^2 s^2 v^2 t^4+2 s^2 v^2 t^4+4 q s^3 u^2 v^2 t^4-6 q^2 s^2 u^2 v^2 t^4+4 s^2 u^2 v^2 t^4-4 q s u^2 v^2 t^4+2 q s v^2 t^4+2 q^2 s^3 u v^2 t^4+8 q s^2 u v^2 t^4-2 q^2 s u v^2 t^4+2 q s^3 u^3 v t^4-2 q s u^3 v t^4+8 q s^2 u^2 v t^4-2 q s^3 u v t^4+2 q s u v t^4-s^4 u^2 v^5 t^3-2 s^2 u^2 v^5 t^3-u^2 v^5 t^3-2 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t^3+2 s^3 v^2 t^3-2 q^2 s^4 u^3 v^2 t^3-6 q s^3 u^3 v^2 t^3-4 q^2 u^3 v^2 t^3+2 q^2 s^2 u^3 v^2 t^3+6 s^2 u^3 v^2 t^3+6 q s u^3 v^2 t^3-2 u^3 v^2 t^3+4 q s^2 v^2 t^3+4 q s^4 u^2 v^2 t^3-6 q^2 s^3 u^2 v^2 t^3-2 s^3 u^2 v^2 t^3-4 q s^2 u^2 v^2 t^3+4 q u^2 v^2 t^3+6 q^2 s u^2 v^2 t^3+2 s u^2 v^2 t^3-q v^2 t^3-2 q^2 s v^2 t^3-4 s v^2 t^3+4 q^2 s^4 u v^2 t^3+2 s^4 u v^2 t^3+6 q s^3 u v^2 t^3+2 q^2 u v^2 t^3-2 q^2 s^2 u v^2 t^3-6 s^2 u v^2 t^3-6 q s u v^2 t^3+2 q s^4 u^3 v t^3-2 s^3 u^3 v t^3-4 q s^2 u^3 v t^3+2 q u^3 v t^3+2 s u^3 v t^3+2 q^2 s^4 u^2 v t^3+s^4 u^2 v t^3+8 q s^3 u^2 v t^3+2 q^2 u^2 v t^3+4 q^2 s^2 u^2 v t^3-6 s^2 u^2 v t^3-8 q s u^2 v t^3+u^2 v t^3-2 q s^4 u v t^3+2 s^3 u v t^3+4 q s^2 u v t^3-2 q u v t^3-2 s u v t^3-q s^4 u^2 v^5 t^2-2 q s^2 u^2 v^5 t^2-q u^2 v^5 t^2-2 q s^4 u^3 v^4 t^2-2 q^2 s^3 u^3 v^4 t^2+4 q s^2 u^3 v^4 t^2-2 q u^3 v^4 t^2+2 q^2 s u^3 v^4 t^2+q^2 s^4 u^2 v^4 t^2+2 s^4 u^2 v^4 t^2-8 q s^3 u^2 v^4 t^2+q^2 u^2 v^4 t^2-6 q^2 s^2 u^2 v^4 t^2+4 s^2 u^2 v^4 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t^2+q^2 v^2 t^2-4 s^2 v^2 t^2-4 s^4 u^2 v^2 t^2+4 q s^3 u^2 v^2 t^2+8 q^2 s^2 u^2 v^2 t^2+12 s^2 u^2 v^2 t^2-4 q s u^2 v^2 t^2-4 u^2 v^2 t^2-2 q s v^2 t^2-2 q s^4 u v^2 t^2-4 q^2 s^3 u v^2 t^2-10 s^3 u v^2 t^2-4 q s^2 u v^2 t^2-2 q u v^2 t^2+6 s u v^2 t^2+2 v^2 t^2-2 s^4 u^3 v t^2-2 q s^3 u^3 v t^2+2 q^2 u^3 v t^2+2 q^2 s^2 u^3 v t^2+6 s^2 u^3 v t^2+2 q s u^3 v t^2-q s^4 u^2 v t^2-8 s^3 u^2 v t^2-10 q s^2 u^2 v t^2-q u^2 v t^2+8 s u^2 v t^2-2 q^2 s^4 u v t^2+2 q s^3 u v t^2-2 q^2 s^2 u v t^2-6 s^2 u v t^2-2 q s u v t^2+2 u v t^2+2 q s^3 u^3 v^4 t-2 q s u^3 v^4 t+8 q s^2 u^2 v^4 t-2 q s^3 u v^4 t+2 q s u v^4 t+2 q s^3 u^4 v^3 t+2 q^2 s^2 u^4 v^3 t+s^2 u^4 v^3 t-2 q s u^4 v^3 t+2 q s^3 v^3 t-2 s^3 u^3 v^3 t+8 q s^2 u^3 v^3 t+2 s u^3 v^3 t+2 q^2 s^2 v^3 t+s^2 v^3 t-4 q s^3 u^2 v^3 t+4 q^2 s^2 u^2 v^3 t-6 s^2 u^2 v^3 t+4 q s u^2 v^3 t-2 q s v^3 t+2 s^3 u v^3 t-8 q s^2 u v^3 t-2 s u v^3 t-2 s^3 u^4 v^2 t-q s^2 u^4 v^2 t-2 q^2 s u^4 v^2 t+2 q^2 s^3 v^2 t-2 q s^3 u^3 v^2 t-8 s^2 u^3 v^2 t+2 q s u^3 v^2 t-q s^2 v^2 t+2 q^2 s^3 u^2 v^2 t+6 s^3 u^2 v^2 t-10 q s^2 u^2 v^2 t-2 q^2 s u^2 v^2 t-6 s u^2 v^2 t+2 s v^2 t+2 q s^3 u v^2 t+8 s^2 u v^2 t-2 q s u v^2 t+2 q^2 s^3 u^3 v t+4 s^3 u^3 v t+2 q^2 s u^3 v t+8 s^2 u^2 v t+2 q^2 s^3 u v t+2 q^2 s u v t+4 s u v t-q s^2 u^4 v^3-q s^2 v^3-2 q s^2 u^2 v^3-q^2 s^2 u^4 v^2-q^2 s^2 v^2-2 q^2 s^2 u^2 v^2 = 0\]
p,x,y均可表示为q的一次式：
\[q t v+q t y+q v y-q+t v y-t-v-y = 0\]
\[t u^2 v^3 s^4-t^2 u^2 s^4+q t u^2 s^4+t u^3 v^2 s^4+t^2 u^2 v^2 s^4-q t u^2 v^2 s^4+q t^2 u v^2 s^4-t u v^2 s^4-q t^2 u s^4+t^2 u^3 v s^4-q t u^3 v s^4-q t^2 v s^4+q t^2 u^2 v s^4-t u^2 v s^4-t^2 u v s^4+q t u v s^4+t^2 u^2 v^3 s^3+p t u^2 v^3 s^3-t^3 u^2 s^3-2 p t^2 u^2 s^3+q t^2 u^2 s^3+2 t u^2 s^3+2 t^2 u^3 v^2 s^3+p t u^3 v^2 s^3+2 q t u^3 v^2 s^3-u^3 v^2 s^3+t^3 u^2 v^2 s^3-5 q t^2 u^2 v^2 s^3-2 p u^2 v^2 s^3+2 t u^2 v^2 s^3+p t^3 u v^2 s^3+2 q t^3 u v^2 s^3+p t u v^2 s^3-q t u v^2 s^3+u v^2 s^3+p t^3 u s^3-2 t^2 u s^3+q t u s^3+p t^3 v s^3-q t^3 v s^3+2 t^3 u^3 v s^3-2 q t^2 u^3 v s^3-2 p u^3 v s^3-q u^3 v s^3-t u^3 v s^3+p t^3 u^2 v s^3+q t^3 u^2 v s^3+t^2 u^2 v s^3+p t u^2 v s^3-2 q t u^2 v s^3+2 u^2 v s^3+2 q t v s^3-2 p t^2 u v s^3+4 q t^2 u v s^3-q u v s^3-t u v s^3+p t^2 u^2 v^3 s^2+t u^2 v^3 s^2-2 p t^3 u^2 s^2+3 t^2 u^2 s^2+2 p t u^2 s^2+q t u^2 s^2+t^3 u^3 v^2 s^2+2 p t^2 u^3 v^2 s^2+4 q t^2 u^3 v^2 s^2+p u^3 v^2 s^2-2 t u^3 v^2 s^2-4 q t^3 u^2 v^2 s^2+3 t^2 u^2 v^2 s^2-4 p t u^2 v^2 s^2+3 q t u^2 v^2 s^2-2 u^2 v^2 s^2+t^3 u v^2 s^2+p t^2 u v^2 s^2-3 q t^2 u v^2 s^2-p u v^2 s^2-2 t^3 u s^2-3 p t^2 u s^2-q t^2 u s^2+2 t u s^2+p t^4 v s^2+t^4 u^3 v s^2-q t^3 u^3 v s^2-2 t^2 u^3 v s^2-4 p t u^3 v s^2-2 q t u^3 v s^2-2 p t^2 v s^2+2 q t^2 v s^2+p t^4 u^2 v s^2+2 t^3 u^2 v s^2+p t^2 u^2 v s^2-4 q t^2 u^2 v s^2-2 p u^2 v s^2-q u^2 v s^2+t u^2 v s^2-q v s^2+t^4 u v s^2-2 p t^3 u v s^2+3 q t^3 u v s^2-2 t^2 u v s^2+2 p t u v s^2-4 q t u v s^2+2 u v s^2+t^2 u^2 v^3 s+p t u^2 v^3 s+t^3 u^2 s+2 p t^2 u^2 s+q t^2 u^2 s+p t^3 u^3 v^2 s+2 q t^3 u^3 v^2 s-t^2 u^3 v^2 s+2 p t u^3 v^2 s+t^3 u^2 v^2 s-2 p t^2 u^2 v^2 s+3 q t^2 u^2 v^2 s-2 t u^2 v^2 s+2 p t^3 u v^2 s-t^2 u v^2 s-2 p t u v^2 s+q t u v^2 s-p t^3 u s+2 t^2 u s+2 p t u s+q t u s-2 p t^3 v s-t^3 u^3 v s-2 p t^2 u^3 v s-q t^2 u^3 v s-2 q t^3 u^2 v s-t^2 u^2 v s-4 p t u^2 v s-q t u^2 v s+p t v s-q t v s-t^3 u v s+2 p t^2 u v s-3 q t^2 u v s+2 t u v s+p t^2 u^2 v^3+p t^2 u^3 v^2-2 p t^2 u v^2+p t^2 u+p t^2 v-2 p t^2 u^2 v = 0 \]
\[-s^2 t^4 v^4 u^6+2 q s t^4 v^4 u^6-2 s^3 t^3 v^4 u^6+4 q s^2 t^3 v^4 u^6-2 q t^3 v^4 u^6+s^2 v^4 u^6-s^4 t^2 v^4 u^6+2 q s^3 t^2 v^4 u^6-4 q s t^2 v^4 u^6+t^2 v^4 u^6-2 q s^2 t v^4 u^6+2 s t v^4 u^6-s^2 t^5 v^3 u^6-2 s^3 t^4 v^3 u^6-3 q s^2 t^4 v^3 u^6-2 s^3 v^3 u^6-s^4 t^3 v^3 u^6-6 q s^3 t^3 v^3 u^6+2 s^2 t^3 v^3 u^6+2 q s t^3 v^3 u^6+t^3 v^3 u^6+q s^2 v^3 u^6-3 q s^4 t^2 v^3 u^6+4 s^3 t^2 v^3 u^6+4 q s^2 t^2 v^3 u^6+q t^2 v^3 u^6+2 s^4 t v^3 u^6+2 q s^3 t v^3 u^6-3 s^2 t v^3 u^6+2 q s t v^3 u^6+q s^3 t^4 v^2 u^6+2 s^2 t^4 v^2 u^6-q s^3 v^2 u^6+2 q s^4 t^3 v^2 u^6+4 s^3 t^3 v^2 u^6-2 s t^3 v^2 u^6+q s^5 t^2 v^2 u^6+2 s^4 t^2 v^2 u^6-4 s^2 t^2 v^2 u^6-q s t^2 v^2 u^6-2 s^3 t v^2 u^6-2 q s^2 t v^2 u^6-2 s^2 t^4 v^5 u^5+4 q s t^4 v^5 u^5-4 s^3 t^3 v^5 u^5+6 q s^2 t^3 v^5 u^5-2 q t^3 v^5 u^5-2 s t^3 v^5 u^5-2 s^4 t^2 v^5 u^5+2 q s^3 t^2 v^5 u^5-2 s^2 t^2 v^5 u^5-2 q s t^2 v^5 u^5+2 t^2 v^5 u^5+2 s t v^5 u^5-2 s^2 t^5 v^4 u^5-2 s^3 t^4 v^4 u^5-14 q s^2 t^4 v^4 u^5-2 s t^4 v^4 u^5-2 s^3 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u^3-6 s^3 t^2 v x u^3-2 s t^2 v x u^3-4 s^4 t v x u^3-2 s^2 t v x u^3-4 q s^4 t^4 v^5 u^2+2 s^3 t^4 v^5 u^2-2 q s^5 t^3 v^5 u^2+6 q s^3 t^3 v^5 u^2-6 s^2 t^3 v^5 u^2+2 q s^4 t^2 v^5 u^2-2 s^3 t^2 v^5 u^2-2 q s^2 t^2 v^5 u^2+4 s t^2 v^5 u^2+2 s^2 t v^5 u^2+2 s^3 t^5 v^4 u^2-14 q s^3 t^4 v^4 u^2-3 s^2 t^4 v^4 u^2-10 q s^4 t^3 v^4 u^2+4 s^3 t^3 v^4 u^2+20 q s^2 t^3 v^4 u^2-2 s t^3 v^4 u^2-s^2 v^4 u^2+5 s^4 t^2 v^4 u^2+12 q s^3 t^2 v^4 u^2-4 s^2 t^2 v^4 u^2-6 q s t^2 v^4 u^2+3 t^2 v^4 u^2-4 s^3 t v^4 u^2-2 q s^2 t v^4 u^2+3 s^2 t^5 v^3 u^2+4 q s^4 t^4 v^3 u^2+4 s^3 t^4 v^3 u^2-11 q s^2 t^4 v^3 u^2-6 s t^4 v^3 u^2+2 s^3 v^3 u^2+6 q s^5 t^3 v^3 u^2+s^4 t^3 v^3 u^2-12 q s^3 t^3 v^3 u^2+2 s^2 t^3 v^3 u^2+14 q s t^3 v^3 u^2+3 t^3 v^3 u^2+q s^2 v^3 u^2-7 q s^4 t^2 v^3 u^2+6 s^3 t^2 v^3 u^2+8 q s^2 t^2 v^3 u^2-3 q t^2 v^3 u^2-6 s t^2 v^3 u^2-2 s^4 t v^3 u^2-7 s^2 t v^3 u^2-2 s^3 t^5 v^2 u^2-4 s^4 t^4 v^2 u^2+3 q s^3 t^4 v^2 u^2+8 s^2 t^4 v^2 u^2-2 q s t^4 v^2 u^2-q s^3 v^2 u^2+4 q s^4 t^3 v^2 u^2+10 s^3 t^3 v^2 u^2-4 q s^2 t^3 v^2 u^2+2 q t^3 v^2 u^2-4 s t^3 v^2 u^2+2 s^2 v^2 u^2-3 q s^5 t^2 v^2 u^2-6 q s^3 t^2 v^2 u^2-4 s^2 t^2 v^2 u^2+q s t^2 v^2 u^2-2 t^2 v^2 u^2+4 q s^4 t v^2 u^2-2 s^3 t v^2 u^2+2 q s^2 t v^2 u^2-2 s t v^2 u^2+2 s t^4 v u^2+2 s^4 t^3 v u^2+2 s^2 t^3 v u^2-2 t^3 v u^2-2 q s^4 t^2 v u^2-4 s^3 t^2 v u^2-2 q s^2 t^2 v u^2-2 s t^2 v u^2+2 q s^3 t v u^2+2 s^2 t v u^2+2 q s t v u^2+2 s^4 t^4 v^5 x u^2+4 s^2 t^4 v^5 x u^2+s^5 t^3 v^5 x u^2-7 s t^3 v^5 x u^2-s^4 t^2 v^5 x u^2-4 s^2 t^2 v^5 x u^2+3 t^2 v^5 x u^2+2 s t v^5 x u^2-2 s^2 t^5 v^4 x u^2-6 s^3 t^4 v^4 x u^2+8 s t^4 v^4 x u^2-2 s^3 v^4 x u^2-6 s^4 t^3 v^4 x u^2+20 s^2 t^3 v^4 x u^2-6 t^3 v^4 x u^2-2 s^5 t^2 v^4 x u^2+16 s^3 t^2 v^4 x u^2-14 s t^2 v^4 x u^2+4 s^4 t v^4 x u^2-10 s^2 t v^4 x u^2+2 s^3 t^5 v^3 x u^2+4 s^4 t^4 v^3 x u^2-10 s^2 t^4 v^3 x u^2-24 s^3 t^3 v^3 x u^2+8 s t^3 v^3 x u^2-2 s^2 v^3 x u^2-8 s^4 t^2 v^3 x u^2+24 s^2 t^2 v^3 x u^2+10 s^3 t v^3 x u^2-4 s t v^3 x u^2+2 s^2 t^5 v^2 x u^2+10 s^3 t^4 v^2 x u^2-4 s t^4 v^2 x u^2+2 s^3 v^2 x u^2+14 s^4 t^3 v^2 x u^2-16 s^2 t^3 v^2 x u^2+2 t^3 v^2 x u^2+6 s^5 t^2 v^2 x u^2-20 s^3 t^2 v^2 x u^2+6 s t^2 v^2 x u^2-8 s^4 t v^2 x u^2+6 s^2 t v^2 x u^2-2 s^4 t^4 v x u^2-3 s^5 t^3 v x u^2+4 s^3 t^3 v x u^2+s t^3 v x u^2+7 s^4 t^2 v x u^2-t^2 v x u^2-4 s^3 t v x u^2-2 s t v x u^2+2 q s^4 t^4 v^4 u-2 s^3 t^4 v^4 u+2 q s^5 t^3 v^4 u-2 s^4 t^3 v^4 u-4 q s^3 t^3 v^4 u+4 s^2 t^3 v^4 u-4 q s^4 t^2 v^4 u+4 s^3 t^2 v^4 u+2 q s^2 t^2 v^4 u-2 s t^2 v^4 u+2 q s^3 t v^4 u-2 s^2 t v^4 u-2 s^3 t^5 v^3 u-2 s^4 t^4 v^3 u+3 q s^3 t^4 v^3 u+3 s^2 t^4 v^3 u-q s^3 v^3 u+2 q s^4 t^3 v^3 u+4 s^3 t^3 v^3 u-6 q s^2 t^3 v^3 u+s^2 v^3 u-q s^5 t^2 v^3 u+s^4 t^2 v^3 u-4 q s^3 t^2 v^3 u-2 s^2 t^2 v^3 u+3 q s t^2 v^3 u-t^2 v^3 u+2 q s^4 t v^3 u-2 s^3 t v^3 u+2 q s^2 t v^3 u-s^2 t^5 v^2 u+q s^2 t^4 v^2 u+2 s t^4 v^2 u+s^4 t^3 v^2 u-2 q s t^3 v^2 u-t^3 v^2 u-q s^2 v^2 u-q s^4 t^2 v^2 u-2 s^3 t^2 v^2 u+q t^2 v^2 u+2 q s^3 t v^2 u+s^2 t v^2 u+2 s^3 t^5 v^4 x u+2 s^4 t^4 v^4 x u-7 s^2 t^4 v^4 x u-8 s^3 t^3 v^4 x u+8 s t^3 v^4 x u-s^2 v^4 x u-s^4 t^2 v^4 x u+10 s^2 t^2 v^4 x u-3 t^2 v^4 x u+2 s^3 t v^4 x u-4 s t v^4 x u+2 s^2 t^5 v^3 x u+6 s^3 t^4 v^3 x u-4 s t^4 v^3 x u+2 s^3 v^3 x u+6 s^4 t^3 v^3 x u-12 s^2 t^3 v^3 x u+2 t^3 v^3 x u+2 s^5 t^2 v^3 x u-12 s^3 t^2 v^3 x u+6 s t^2 v^3 x u-4 s^4 t v^3 x u+6 s^2 t v^3 x u-s^3 t^5 v^2 x u-4 s^4 t^4 v^2 x u+2 s^2 t^4 v^2 x u-3 s^5 t^3 v^2 x u+10 s^3 t^3 v^2 x u-s t^3 v^2 x u+2 s^2 v^2 x u+8 s^4 t^2 v^2 x u-8 s^2 t^2 v^2 x u-7 s^3 t v^2 x u+2 s t v^2 x u-s^3 t^5 v^3 x-2 s^4 t^4 v^3 x+3 s^2 t^4 v^3 x-s^5 t^3 v^3 x+6 s^3 t^3 v^3 x-3 s t^3 v^3 x+s^2 v^3 x+3 s^4 t^2 v^3 x-6 s^2 t^2 v^3 x+t^2 v^3 x-3 s^3 t v^3 x+2 s t v^3 x = 0\]
化简到以上几式也是比较麻烦的，先是通过消元得到关于p,x,q的独立二次方程，然后计算其判别式发现存在公因式，最后才构造得到。
一个用于检验的例子是
\[s \to \frac{1}{2},t \to \frac{3}{2},u \to \frac{1}{3},v \to \frac{5}{4},p \to \frac{{46033 - \sqrt {1171201201} }}{{35696}},q \to \frac{{76879 + \sqrt {1171201201} }}{{97520}},x \to \frac{{105701 + 3\sqrt {1171201201} }}{{123384}},y \to \frac{{76879 - \sqrt {1171201201} }}{{97520}}\]
这在化简和因子取舍过程中是极有用的。
现在我们可以来验证四内心共圆了, 根据 $I_1,I_2,I_3,I_4$的交比为实数，我们可以设
\[\left(-i q s t^2 p^2+i q s p^2+2 q s t p^2-q s t^2 v p^2+q s v p^2-2 i q s t v p^2+i q s t^2 x y p^2-i q s x y p^2-2 q s t x y p^2+q s t^2 v x y p^2-q s v x y p^2+2 i q s t v x y p^2+2 q s t^2 p-2 q s p-i q^2 t p+i q^2 s^2 t p-i s^2 t p+2 q s^2 t p+i t p-2 q t p+2 q^2 s t p-2 s t p-q^2 s t^2 v p+s t^2 v p+q^2 s v p-s v p-2 i q^2 s t v p+2 i s t v p-i q^2 s t^2 u v p+i s t^2 u v p-2 q s t^2 u v p+i q^2 s u v p-i s u v p+2 q s u v p+i q^2 t u v p-i q^2 s^2 t u v p+i s^2 t u v p-2 q s^2 t u v p-i t u v p+2 q t u v p-q^2 s t^2 y p+2 i q s t^2 y p+s t^2 y p+q^2 s y p-2 i q s y p-s y p+q^2 t y p-q^2 s^2 t y p+2 i q s^2 t y p+s^2 t y p-2 i q t y p-t y p+q^2 s t^2 u v y p-2 i q s t^2 u v y p-s t^2 u v y p-q^2 s u v y p+2 i q s u v y p+s u v y p-q^2 t u v y p+q^2 s^2 t u v y p-2 i q s^2 t u v y p-s^2 t u v y p+2 i q t u v y p+t u v y p+i q^2 s t^2 x y p-i s t^2 x y p-i q^2 s x y p+i s x y p-2 q^2 s t x y p+2 s t x y p+q^2 s t^2 v x y p-s t^2 v x y p-q^2 s v x y p+s v x y p+2 i q^2 s t v x y p-2 i s t v x y p+i q s t^2-i q s-2 q s t+q s t^2 v-q s v+2 i q s t v-i q s t^2 x y+i q s x y+2 q s t x y-q s t^2 v x y+q s v x y-2 i q s t v x y\right)-T ((-i+q) (i+t) (i s t+s v t-u v t+t+i s v-s u v) (-i p q+p y q-x y q+q-i p y-p x y)) (-i p q+p t q+s t q-q+i s t-t) = 0\]
其中T是实数。这样设法的好处是可以简化消元过程（在我所知的平面几何问题中，仅有少数几个问题需要这样特别地选取参数，才可使得运算不至于超出mathematica的极限）。
上式取实虚部得到两个T关于(p,q,x,y)的方程，我们利用前述的关系式消去p,x,y。
消元过程是利用q的二次方程，逐渐降低p,x,y,q在待证方程中的次数(每次只能使p、q、x或y的最高幂次减1, 而且需注意利用因子, 否则会超内存)，最后得到关于T,q的两个线性方程式(d + c q + b T + a q T = 0的形式)。
然后消元T, 最后的式子（关于q的二次方程）其实并不好做因式分解（项数过大）, 不过因为我们知道其中必定含有前面已知的q的二次式因子, 直接代入，用Cancel命令即可进行了。

另外两个结论的做法类似, 但相比于这个结论就简单太多了。

dlsh

creasson 发表于 2020-10-12 11:06
新增两个结论:
1.  四边形ABCD有内切圆，P满足角APB=角CPD，△PAB，△PBC，△PCD，△PAD的内切圆分别为⊙I ...

这道题与泰博定理有相似之处，用下图线性构造方式或许证明相对简单。

图中的O1和O2构造是数学中国的一位网友最早在论坛提出的。先构造△ABC内心，再做过A点的直线交BC与D，再依次构造各内心，不知道Mathematica计算能力如何。