数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
楼主: creasson

[悬赏] 圆外切四边形的四内心共圆问题

[复制链接]
发表于 2020-9-28 21:30:27 | 显示全部楼层
Mathematica计算不了,高手指点一下. 胡俊华的问题2.rar (18.74 KB, 下载次数: 18)

点评

可惜没算出来  发表于 2020-9-29 22:02
可以呀  发表于 2020-9-29 08:59
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-30 21:12:57 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-9-24 00:23
现在也许可以比较全面地回答这个问题了:
1、记对角线交点为E,P在外切四边形内时,应满足 ∠APB+∠CPD=2 ...

采用1#2# 所设参数表示,终于代数地证明了逆向结论:  如果点P满足∠APB+∠CPD=2∠AEB, 且使得四内心共圆,那么四边形是圆外切四边形。原结论1仍是没办法直接地证明。  
计算量非常大,Mathematica几乎已无法处理, 而且化简需要一些特殊处理,整个证明可以说极其丑陋,为什么如此简单优美的结论却找不到一个简洁的证明? 是代数系统的不完善还是仍有巧妙的方法体系没找到?

点评

转化为多项式方程一般更容易处理,直接用内心的根式表示计算挺麻烦的。  发表于 2020-10-4 21:25
是否可以用个例证方法?为什么你的方程都是整数次?  发表于 2020-10-3 20:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-4 21:49:27 | 显示全部楼层
复平面上0,1,x+yi的三角形,其内心满足方程:
\[2 z^2 (x+i y) \left(i x^2+i y^2+y-i\right)+2 z^3 (y-i x) (x-i y-1)-2 i z (x-i y-1) (x+i y)^2+y (x+i y)^2+y z^4=0\]

点评

由marden定理推导而来,任意三角形的内心可由此式变换下即得到,只是写出来太复杂了.  发表于 2020-10-7 15:27
请问这公式怎样来的?对于任意三角形如何表示?  发表于 2020-10-6 20:27
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-5 19:29:22 | 显示全部楼层

等腰梯形时,有一支标准的叶形线

等腰梯形时.PNG

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-12 11:06:09 | 显示全部楼层
新增两个结论:
1.  四边形ABCD有内切圆,P满足角APB=角CPD,△PAB,△PBC,△PCD,△PAD的内切圆分别为⊙I1,⊙I2,⊙I3,⊙I4。证明:这四圆有一公切线。(注:四内心是共圆的,结论为24#之2)
微信截图_20201012110332.png
https://tieba.baidu.com/p/6423014920
2.  ABCD是圆O的外切四边形,E是对角线交点,圆P与边AE,ED相切且与圆O内切,其余点Q,R,S类似定义。证明:P,Q,R,S四点共圆。
2278942ac65c103886d4f19ca5119313b17e89eb.png
https://tieba.baidu.com/p/7008632056
从这几例可窥见圆外切四边形的性质是非常丰富的,但目前对它的研究还很浅,应该是有一套简易方法 ...
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-12 11:32:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 creasson 于 2020-10-12 11:36 编辑

黄利兵老师对此问题有深入研究,但未见太多的介绍,仅搜到一相关文章
一道平面几何题的探索过程.pdf (165.84 KB, 下载次数: 24)

评分

参与人数 1威望 +6 金币 +8 贡献 +6 经验 +6 鲜花 +6 收起 理由
hujunhua + 6 + 8 + 6 + 6 + 6 链接有价值

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-12 23:10:33 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2020-10-12 11:32
黄利兵老师对此问题有深入研究,但未见太多的介绍,仅搜到一相关文章

论文解决的就是25#镖形情况下的问题。
只是轨迹圆的描述条件不一样,论文中给的条件表明它是一个阿波罗尼斯圆。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-20 20:39:00 | 显示全部楼层

Mathematic不能运算

线段性质

线段性质

获得了对称表达式,其中的M1~M4表示对应线段中点,有关线段的结论用复数简单一些。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-24 18:32:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 creasson 于 2020-10-24 18:34 编辑

终于代数地直接证明了hujunhua在23#的结论1:当P点在圆外切四边形ABCD内,且∠APB+∠CPD=2∠AEB时,四个小三角形△APB、△BPC、△CPD、△DPA的内心共圆。
消元过程非常繁琐,简写下主要步骤:
首先,如2#,令
\[\mathop {PB}\limits^ \to   = \frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s{{\left( {1 - it} \right)}^2}}}\mathop {PA}\limits^ \to  ,\mathop {PC}\limits^ \to   = \frac{{\left( {u + v} \right)\left( {1 - uv} \right)}}{{u{{\left( {1 - iv} \right)}^2}}}\mathop {PB}\limits^ \to  \]
\[\mathop {PD}\limits^ \to   = \frac{{\left( {p + q} \right)\left( {1 - pq} \right)}}{{p{{\left( {1 + iq} \right)}^2}}}\mathop {PA}\limits^ \to  ,\mathop {PC}\limits^ \to   = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{x{{\left( {1 + iy} \right)}^2}}}\mathop {PD}\limits^ \to  \]
以上也可以视作是以P=0,A=1所建立的复平面上的参数表示,各参数均取正实数且$1 - st > 0,1 - uv > 0,1 - pq > 0,1 - xy > 0$,显然应有
\[\frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s{{\left( {1 - it} \right)}^2}}}\frac{{\left( {u + v} \right)\left( {1 - uv} \right)}}{{u{{\left( {1 - iv} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {p + q} \right)\left( {1 - pq} \right)}}{{p{{\left( {1 + iq} \right)}^2}}}\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{x{{\left( {1 + iy} \right)}^2}}}\]
取实虚部可分离得到两个方程,不过其中一个方程可由角度关系$ \left( \angle APB + \angle BPC \right) + \left( \angle APD + \angle DPC \right) = 2\pi $得到,为
\[\frac{{t + v}}{{1 - tv}} + \frac{{q + y}}{{1 - qy}} = 0\]
这样设参之后,各边长及各小三角形内心均可有理表示出来:
\[AB = \frac{{t\left( {1 + {s^2}} \right)}}{{s\left( {1 + {t^2}} \right)}}PA,BC = \frac{{v\left( {1 + {u^2}} \right)}}{{u\left( {1 + {v^2}} \right)}}PB = \frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s\left( {1 + {t^2}} \right)}}\frac{{v\left( {1 + {u^2}} \right)}}{{u\left( {1 + {v^2}} \right)}}PA\]
\[AD = \frac{{q\left( {1 + {p^2}} \right)}}{{p\left( {1 + {q^2}} \right)}}PA,CD = \frac{{y\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{x\left( {1 + {y^2}} \right)}}PD = \frac{{\left( {p + q} \right)\left( {1 - pq} \right)}}{{p\left( {1 + {q^2}} \right)}}\frac{{y\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{x\left( {1 + {y^2}} \right)}}PA\]
\[\mathop {P{I_1}}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{1 - st}}{{1 - it}}\mathop {PA}\limits^ \to  ,\mathop {P{I_2}}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{1 - uv}}{{1 - iv}}\mathop {PB}\limits^ \to  ,\mathop {P{I_3}}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{1 - pq}}{{1 + iq}}\mathop {PA}\limits^ \to  ,\mathop {P{I_4}}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{1 - xy}}{{1 + iy}}\mathop {PD}\limits^ \to  \]
对边之和相等:$AB + CD = BC + AD$
然后,我们计算E点,并代入条件∠APB+∠CPD=2∠AEB可得另一等式。
以上四个等式即为所有的条件,直接用于证明四内心共圆并不方便,我们需要将其化为最简。
可以将s,t,u,v固定, 将p,q,x,y视为关于s,t,u,v的函数(4个自由维度),又经试验,归约到q是更简化的,所得化简结果为:
q满足一个二次方程:
\[-s^2 u^4 v^3 t^5-s^2 v^3 t^5-2 s^2 u^2 v^3 t^5-q s^2 u^4 v^2 t^5-q s^2 v^2 t^5-2 q s^2 u^2 v^2 t^5-2 s^3 u^3 v^4 t^4-4 q^2 s u^3 v^4 t^4-2 s u^3 v^4 t^4+8 q^2 s^2 u^2 v^4 t^4-4 q^2 s^3 u v^4 t^4-2 s^3 u v^4 t^4-2 s u v^4 t^4-2 s^3 u^4 v^3 t^4-q s^2 u^4 v^3 t^4-2 q^2 s u^4 v^3 t^4+2 q^2 s^3 v^3 t^4-2 q s^3 u^3 v^3 t^4+8 q^2 s^2 u^3 v^3 t^4+2 q s u^3 v^3 t^4-q s^2 v^3 t^4-6 q^2 s^3 u^2 v^3 t^4-2 s^3 u^2 v^3 t^4-10 q s^2 u^2 v^3 t^4+6 q^2 s u^2 v^3 t^4+2 s u^2 v^3 t^4+2 s v^3 t^4+2 q s^3 u v^3 t^4-8 q^2 s^2 u v^3 t^4-2 q s u v^3 t^4-2 q s^3 u^4 v^2 t^4+q^2 s^2 u^4 v^2 t^4+2 s^2 u^4 v^2 t^4+2 q s u^4 v^2 t^4-2 q s^3 v^2 t^4-2 q^2 s^3 u^3 v^2 t^4-8 q s^2 u^3 v^2 t^4+2 q^2 s u^3 v^2 t^4+q^2 s^2 v^2 t^4+2 s^2 v^2 t^4+4 q s^3 u^2 v^2 t^4-6 q^2 s^2 u^2 v^2 t^4+4 s^2 u^2 v^2 t^4-4 q s u^2 v^2 t^4+2 q s v^2 t^4+2 q^2 s^3 u v^2 t^4+8 q s^2 u v^2 t^4-2 q^2 s u v^2 t^4+2 q s^3 u^3 v t^4-2 q s u^3 v t^4+8 q s^2 u^2 v t^4-2 q s^3 u v t^4+2 q s u v t^4-s^4 u^2 v^5 t^3-2 s^2 u^2 v^5 t^3-u^2 v^5 t^3-2 s^4 u^3 v^4 t^3-2 q s^3 u^3 v^4 t^3+2 q^2 u^3 v^4 t^3-6 q^2 s^2 u^3 v^4 t^3-2 s^2 u^3 v^4 t^3+2 q s u^3 v^4 t^3-q s^4 u^2 v^4 t^3+8 q^2 s^3 u^2 v^4 t^3-10 q s^2 u^2 v^4 t^3-q u^2 v^4 t^3-8 q^2 s u^2 v^4 t^3-2 q^2 s^4 u v^4 t^3+2 q s^3 u v^4 t^3+6 q^2 s^2 u v^4 t^3+2 s^2 u v^4 t^3-2 q s u v^4 t^3+2 u v^4 t^3+2 q^2 s^4 v^3 t^3+s^4 v^3 t^3-s^4 u^4 v^3 t^3-2 q s^3 u^4 v^3 t^3+2 q^2 u^4 v^3 t^3-4 q^2 s^2 u^4 v^3 t^3+2 q s u^4 v^3 t^3+u^4 v^3 t^3-2 q s^3 v^3 t^3-2 q s^4 u^3 v^3 t^3+10 q^2 s^3 u^3 v^3 t^3+4 s^3 u^3 v^3 t^3-4 q s^2 u^3 v^3 t^3-2 q u^3 v^3 t^3-6 q^2 s u^3 v^3 t^3-4 q^2 s^2 v^3 t^3-4 q^2 s^4 u^2 v^3 t^3-4 q s^3 u^2 v^3 t^3-4 q^2 u^2 v^3 t^3+12 q^2 s^2 u^2 v^3 t^3+8 s^2 u^2 v^3 t^3+4 q s u^2 v^3 t^3+2 q s v^3 t^3+2 q s^4 u v^3 t^3-6 q^2 s^3 u v^3 t^3+4 q s^2 u v^3 t^3+2 q u v^3 t^3+10 q^2 s u v^3 t^3+4 s u v^3 t^3-v^3 t^3-q s^4 u^2 t^3-2 q s^2 u^2 t^3-q u^2 t^3-q s^4 v^2 t^3-q s^4 u^4 v^2 t^3+2 q^2 s^3 u^4 v^2 t^3+4 s^3 u^4 v^2 t^3+4 q s^2 u^4 v^2 t^3-q u^4 v^2 t^3-2 s u^4 v^2 t^3+2 s^3 v^2 t^3-2 q^2 s^4 u^3 v^2 t^3-6 q s^3 u^3 v^2 t^3-4 q^2 u^3 v^2 t^3+2 q^2 s^2 u^3 v^2 t^3+6 s^2 u^3 v^2 t^3+6 q s u^3 v^2 t^3-2 u^3 v^2 t^3+4 q s^2 v^2 t^3+4 q s^4 u^2 v^2 t^3-6 q^2 s^3 u^2 v^2 t^3-2 s^3 u^2 v^2 t^3-4 q s^2 u^2 v^2 t^3+4 q u^2 v^2 t^3+6 q^2 s u^2 v^2 t^3+2 s u^2 v^2 t^3-q v^2 t^3-2 q^2 s v^2 t^3-4 s v^2 t^3+4 q^2 s^4 u v^2 t^3+2 s^4 u v^2 t^3+6 q s^3 u v^2 t^3+2 q^2 u v^2 t^3-2 q^2 s^2 u v^2 t^3-6 s^2 u v^2 t^3-6 q s u v^2 t^3+2 q s^4 u^3 v t^3-2 s^3 u^3 v t^3-4 q s^2 u^3 v t^3+2 q u^3 v t^3+2 s u^3 v t^3+2 q^2 s^4 u^2 v t^3+s^4 u^2 v t^3+8 q s^3 u^2 v t^3+2 q^2 u^2 v t^3+4 q^2 s^2 u^2 v t^3-6 s^2 u^2 v t^3-8 q s u^2 v t^3+u^2 v t^3-2 q s^4 u v t^3+2 s^3 u v t^3+4 q s^2 u v t^3-2 q u v t^3-2 s u v t^3-q s^4 u^2 v^5 t^2-2 q s^2 u^2 v^5 t^2-q u^2 v^5 t^2-2 q s^4 u^3 v^4 t^2-2 q^2 s^3 u^3 v^4 t^2+4 q s^2 u^3 v^4 t^2-2 q u^3 v^4 t^2+2 q^2 s u^3 v^4 t^2+q^2 s^4 u^2 v^4 t^2+2 s^4 u^2 v^4 t^2-8 q s^3 u^2 v^4 t^2+q^2 u^2 v^4 t^2-6 q^2 s^2 u^2 v^4 t^2+4 s^2 u^2 v^4 t^2+8 q s u^2 v^4 t^2+2 u^2 v^4 t^2+2 q s^4 u v^4 t^2+2 q^2 s^3 u v^4 t^2-4 q s^2 u v^4 t^2+2 q u v^4 t^2-2 q^2 s u v^4 t^2-q s^4 v^3 t^2-q s^4 u^4 v^3 t^2-2 q^2 s^3 u^4 v^3 t^2+4 q s^2 u^4 v^3 t^2-q u^4 v^3 t^2+4 q^2 s u^4 v^3 t^2+2 s u^4 v^3 t^2-4 q^2 s^3 v^3 t^2-2 s^3 v^3 t^2+2 q^2 s^4 u^3 v^3 t^2+4 s^4 u^3 v^3 t^2-6 q s^3 u^3 v^3 t^2-6 q^2 s^2 u^3 v^3 t^2-2 s^2 u^3 v^3 t^2+6 q s u^3 v^3 t^2+2 u^3 v^3 t^2+4 q s^2 v^3 t^2+4 q s^4 u^2 v^3 t^2+2 q^2 s^3 u^2 v^3 t^2+6 s^3 u^2 v^3 t^2-4 q s^2 u^2 v^3 t^2+4 q u^2 v^3 t^2-2 q^2 s u^2 v^3 t^2-6 s u^2 v^3 t^2-q v^3 t^2+2 q^2 s v^3 t^2-2 s^4 u v^3 t^2+6 q s^3 u v^3 t^2-2 q^2 u v^3 t^2+6 q^2 s^2 u v^3 t^2+2 s^2 u v^3 t^2-6 q s u v^3 t^2-4 u v^3 t^2-q^2 s^4 u^2 t^2-2 q^2 s^2 u^2 t^2-q^2 u^2 t^2-q^2 s^4 v^2 t^2+q^2 s^4 u^4 v^2 t^2+2 s^4 u^4 v^2 t^2+2 q s^3 u^4 v^2 t^2-q^2 u^4 v^2 t^2-4 s^2 u^4 v^2 t^2-2 q s u^4 v^2 t^2+2 q s^3 v^2 t^2+2 q s^4 u^3 v^2 t^2+6 s^3 u^3 v^2 t^2+4 q s^2 u^3 v^2 t^2+2 q u^3 v^2 t^2-4 q^2 s u^3 v^2 t^2-10 s u^3 v^2 t^2+q^2 v^2 t^2-4 s^2 v^2 t^2-4 s^4 u^2 v^2 t^2+4 q s^3 u^2 v^2 t^2+8 q^2 s^2 u^2 v^2 t^2+12 s^2 u^2 v^2 t^2-4 q s u^2 v^2 t^2-4 u^2 v^2 t^2-2 q s v^2 t^2-2 q s^4 u v^2 t^2-4 q^2 s^3 u v^2 t^2-10 s^3 u v^2 t^2-4 q s^2 u v^2 t^2-2 q u v^2 t^2+6 s u v^2 t^2+2 v^2 t^2-2 s^4 u^3 v t^2-2 q s^3 u^3 v t^2+2 q^2 u^3 v t^2+2 q^2 s^2 u^3 v t^2+6 s^2 u^3 v t^2+2 q s u^3 v t^2-q s^4 u^2 v t^2-8 s^3 u^2 v t^2-10 q s^2 u^2 v t^2-q u^2 v t^2+8 s u^2 v t^2-2 q^2 s^4 u v t^2+2 q s^3 u v t^2-2 q^2 s^2 u v t^2-6 s^2 u v t^2-2 q s u v t^2+2 u v t^2+2 q s^3 u^3 v^4 t-2 q s u^3 v^4 t+8 q s^2 u^2 v^4 t-2 q s^3 u v^4 t+2 q s u v^4 t+2 q s^3 u^4 v^3 t+2 q^2 s^2 u^4 v^3 t+s^2 u^4 v^3 t-2 q s u^4 v^3 t+2 q s^3 v^3 t-2 s^3 u^3 v^3 t+8 q s^2 u^3 v^3 t+2 s u^3 v^3 t+2 q^2 s^2 v^3 t+s^2 v^3 t-4 q s^3 u^2 v^3 t+4 q^2 s^2 u^2 v^3 t-6 s^2 u^2 v^3 t+4 q s u^2 v^3 t-2 q s v^3 t+2 s^3 u v^3 t-8 q s^2 u v^3 t-2 s u v^3 t-2 s^3 u^4 v^2 t-q s^2 u^4 v^2 t-2 q^2 s u^4 v^2 t+2 q^2 s^3 v^2 t-2 q s^3 u^3 v^2 t-8 s^2 u^3 v^2 t+2 q s u^3 v^2 t-q s^2 v^2 t+2 q^2 s^3 u^2 v^2 t+6 s^3 u^2 v^2 t-10 q s^2 u^2 v^2 t-2 q^2 s u^2 v^2 t-6 s u^2 v^2 t+2 s v^2 t+2 q s^3 u v^2 t+8 s^2 u v^2 t-2 q s u v^2 t+2 q^2 s^3 u^3 v t+4 s^3 u^3 v t+2 q^2 s u^3 v t+8 s^2 u^2 v t+2 q^2 s^3 u v t+2 q^2 s u v t+4 s u v t-q s^2 u^4 v^3-q s^2 v^3-2 q s^2 u^2 v^3-q^2 s^2 u^4 v^2-q^2 s^2 v^2-2 q^2 s^2 u^2 v^2 = 0\]
p,x,y均可表示为q的一次式:
\[q t v+q t y+q v y-q+t v y-t-v-y = 0\]
\[t u^2 v^3 s^4-t^2 u^2 s^4+q t u^2 s^4+t u^3 v^2 s^4+t^2 u^2 v^2 s^4-q t u^2 v^2 s^4+q t^2 u v^2 s^4-t u v^2 s^4-q t^2 u s^4+t^2 u^3 v s^4-q t u^3 v s^4-q t^2 v s^4+q t^2 u^2 v s^4-t u^2 v s^4-t^2 u v s^4+q t u v s^4+t^2 u^2 v^3 s^3+p t u^2 v^3 s^3-t^3 u^2 s^3-2 p t^2 u^2 s^3+q t^2 u^2 s^3+2 t u^2 s^3+2 t^2 u^3 v^2 s^3+p t u^3 v^2 s^3+2 q t u^3 v^2 s^3-u^3 v^2 s^3+t^3 u^2 v^2 s^3-5 q t^2 u^2 v^2 s^3-2 p u^2 v^2 s^3+2 t u^2 v^2 s^3+p t^3 u v^2 s^3+2 q t^3 u v^2 s^3+p t u v^2 s^3-q t u v^2 s^3+u v^2 s^3+p t^3 u s^3-2 t^2 u s^3+q t u s^3+p t^3 v s^3-q t^3 v s^3+2 t^3 u^3 v s^3-2 q t^2 u^3 v s^3-2 p u^3 v s^3-q u^3 v s^3-t u^3 v s^3+p t^3 u^2 v s^3+q t^3 u^2 v s^3+t^2 u^2 v s^3+p t u^2 v s^3-2 q t u^2 v s^3+2 u^2 v s^3+2 q t v s^3-2 p t^2 u v s^3+4 q t^2 u v s^3-q u v s^3-t u v s^3+p t^2 u^2 v^3 s^2+t u^2 v^3 s^2-2 p t^3 u^2 s^2+3 t^2 u^2 s^2+2 p t u^2 s^2+q t u^2 s^2+t^3 u^3 v^2 s^2+2 p t^2 u^3 v^2 s^2+4 q t^2 u^3 v^2 s^2+p u^3 v^2 s^2-2 t u^3 v^2 s^2-4 q t^3 u^2 v^2 s^2+3 t^2 u^2 v^2 s^2-4 p t u^2 v^2 s^2+3 q t u^2 v^2 s^2-2 u^2 v^2 s^2+t^3 u v^2 s^2+p t^2 u v^2 s^2-3 q t^2 u v^2 s^2-p u v^2 s^2-2 t^3 u s^2-3 p t^2 u s^2-q t^2 u s^2+2 t u s^2+p t^4 v s^2+t^4 u^3 v s^2-q t^3 u^3 v s^2-2 t^2 u^3 v s^2-4 p t u^3 v s^2-2 q t u^3 v s^2-2 p t^2 v s^2+2 q t^2 v s^2+p t^4 u^2 v s^2+2 t^3 u^2 v s^2+p t^2 u^2 v s^2-4 q t^2 u^2 v s^2-2 p u^2 v s^2-q u^2 v s^2+t u^2 v s^2-q v s^2+t^4 u v s^2-2 p t^3 u v s^2+3 q t^3 u v s^2-2 t^2 u v s^2+2 p t u v s^2-4 q t u v s^2+2 u v s^2+t^2 u^2 v^3 s+p t u^2 v^3 s+t^3 u^2 s+2 p t^2 u^2 s+q t^2 u^2 s+p t^3 u^3 v^2 s+2 q t^3 u^3 v^2 s-t^2 u^3 v^2 s+2 p t u^3 v^2 s+t^3 u^2 v^2 s-2 p t^2 u^2 v^2 s+3 q t^2 u^2 v^2 s-2 t u^2 v^2 s+2 p t^3 u v^2 s-t^2 u v^2 s-2 p t u v^2 s+q t u v^2 s-p t^3 u s+2 t^2 u s+2 p t u s+q t u s-2 p t^3 v s-t^3 u^3 v s-2 p t^2 u^3 v s-q t^2 u^3 v s-2 q t^3 u^2 v s-t^2 u^2 v s-4 p t u^2 v s-q t u^2 v s+p t v s-q t v s-t^3 u v s+2 p t^2 u v s-3 q t^2 u v s+2 t u v s+p t^2 u^2 v^3+p t^2 u^3 v^2-2 p t^2 u v^2+p t^2 u+p t^2 v-2 p t^2 u^2 v = 0 \]
\[-s^2 t^4 v^4 u^6+2 q s t^4 v^4 u^6-2 s^3 t^3 v^4 u^6+4 q s^2 t^3 v^4 u^6-2 q t^3 v^4 u^6+s^2 v^4 u^6-s^4 t^2 v^4 u^6+2 q s^3 t^2 v^4 u^6-4 q s t^2 v^4 u^6+t^2 v^4 u^6-2 q s^2 t v^4 u^6+2 s t v^4 u^6-s^2 t^5 v^3 u^6-2 s^3 t^4 v^3 u^6-3 q s^2 t^4 v^3 u^6-2 s^3 v^3 u^6-s^4 t^3 v^3 u^6-6 q s^3 t^3 v^3 u^6+2 s^2 t^3 v^3 u^6+2 q s t^3 v^3 u^6+t^3 v^3 u^6+q s^2 v^3 u^6-3 q s^4 t^2 v^3 u^6+4 s^3 t^2 v^3 u^6+4 q s^2 t^2 v^3 u^6+q t^2 v^3 u^6+2 s^4 t v^3 u^6+2 q s^3 t v^3 u^6-3 s^2 t v^3 u^6+2 q s t v^3 u^6+q s^3 t^4 v^2 u^6+2 s^2 t^4 v^2 u^6-q s^3 v^2 u^6+2 q s^4 t^3 v^2 u^6+4 s^3 t^3 v^2 u^6-2 s t^3 v^2 u^6+q s^5 t^2 v^2 u^6+2 s^4 t^2 v^2 u^6-4 s^2 t^2 v^2 u^6-q s t^2 v^2 u^6-2 s^3 t v^2 u^6-2 q s^2 t v^2 u^6-2 s^2 t^4 v^5 u^5+4 q s t^4 v^5 u^5-4 s^3 t^3 v^5 u^5+6 q s^2 t^3 v^5 u^5-2 q t^3 v^5 u^5-2 s t^3 v^5 u^5-2 s^4 t^2 v^5 u^5+2 q s^3 t^2 v^5 u^5-2 s^2 t^2 v^5 u^5-2 q s t^2 v^5 u^5+2 t^2 v^5 u^5+2 s t v^5 u^5-2 s^2 t^5 v^4 u^5-2 s^3 t^4 v^4 u^5-14 q s^2 t^4 v^4 u^5-2 s t^4 v^4 u^5-2 s^3 v^4 u^5-20 q s^3 t^3 v^4 u^5+4 s^2 t^3 v^4 u^5+10 q s t^3 v^4 u^5+2 t^3 v^4 u^5-6 q s^4 t^2 v^4 u^5+10 s^3 t^2 v^4 u^5+12 q s^2 t^2 v^4 u^5-4 s t^2 v^4 u^5+4 s^4 t v^4 u^5+2 q s^3 t v^4 u^5-8 s^2 t v^4 u^5+2 s^3 t^5 v^3 u^5+2 s^4 t^4 v^3 u^5+11 q s^3 t^4 v^3 u^5+7 s^2 t^4 v^3 u^5-4 q s t^4 v^3 u^5-q s^3 v^3 u^5+14 q s^4 t^3 v^3 u^5+6 s^3 t^3 v^3 u^5-12 q s^2 t^3 v^3 u^5+6 q t^3 v^3 u^5-6 s t^3 v^3 u^5-3 s^2 v^3 u^5+3 q s^5 t^2 v^3 u^5-s^4 t^2 v^3 u^5-8 q s^3 t^2 v^3 u^5-2 s^2 t^2 v^3 u^5+7 q s t^2 v^3 u^5-3 t^2 v^3 u^5+4 s^3 t v^3 u^5-6 s t v^3 u^5+s^2 t^5 v^2 u^5-2 q s^4 t^4 v^2 u^5-4 s^3 t^4 v^2 u^5+3 q s^2 t^4 v^2 u^5+2 s^3 v^2 u^5-2 q s^5 t^3 v^2 u^5-5 s^4 t^3 v^2 u^5+4 q s^3 t^3 v^2 u^5+4 s^2 t^3 v^2 u^5-4 q s t^3 v^2 u^5-3 t^3 v^2 u^5-q s^2 v^2 u^5+q s^4 t^2 v^2 u^5+4 s^3 t^2 v^2 u^5-6 q s^2 t^2 v^2 u^5-3 q t^2 v^2 u^5-2 s t^2 v^2 u^5-2 q s^3 t v^2 u^5+3 s^2 t v^2 u^5-4 q s t v^2 u^5-2 s^2 t^4 v u^5-2 s^3 t^3 v u^5+4 s t^3 v u^5+2 q s^3 t^2 v u^5+6 s^2 t^2 v u^5+2 q s t^2 v u^5+2 q s^4 t v u^5+2 s^3 t v u^5+2 q s^2 t v u^5-2 s t^4 v^5 x u^5-4 s^2 t^3 v^5 x u^5-2 t^3 v^5 x u^5-2 s^3 t^2 v^5 x u^5-4 s t^2 v^5 x u^5-2 s^2 t v^5 x u^5+s^2 t^4 v^4 x u^5+2 s^3 t^3 v^4 x u^5+6 s t^3 v^4 x u^5+s^2 v^4 x u^5+s^4 t^2 v^4 x u^5+12 s^2 t^2 v^4 x u^5+t^2 v^4 x u^5+6 s^3 t v^4 x u^5+2 s t v^4 x u^5-2 s^2 t^5 v^3 x u^5-4 s^3 t^4 v^3 x u^5-2 s t^4 v^3 x u^5-2 s^3 v^3 x u^5-2 s^4 t^3 v^3 x u^5-6 s^2 t^3 v^3 x u^5-6 s^3 t^2 v^3 x u^5-2 s t^2 v^3 x u^5-2 s^4 t v^3 x u^5-4 s^2 t v^3 x u^5+s^3 t^5 v^2 x u^5+2 s^4 t^4 v^2 x u^5+6 s^2 t^4 v^2 x u^5+s^5 t^3 v^2 x u^5+12 s^3 t^3 v^2 x u^5+s t^3 v^2 x u^5+6 s^4 t^2 v^2 x u^5+2 s^2 t^2 v^2 x u^5+s^3 t v^2 x u^5-2 s^3 t^4 v x u^5-4 s^4 t^3 v x u^5-2 s^2 t^3 v x u^5-2 s^5 t^2 v x u^5-4 s^3 t^2 v x u^5-2 s^4 t v x u^5-2 s^3 t^3 v^6 u^4-2 s t^3 v^6 u^4-s^4 t^2 v^6 u^4+t^2 v^6 u^4-12 q s^2 t^4 v^5 u^4-2 s t^4 v^5 u^4+3 s^4 t^3 v^5 u^4-14 q s^3 t^3 v^5 u^4+6 s^2 t^3 v^5 u^4+10 q s t^3 v^5 u^4+t^3 v^5 u^4-3 q s^4 t^2 v^5 u^4+4 s^3 t^2 v^5 u^4+8 q s^2 t^2 v^5 u^4-q t^2 v^5 u^4-6 s t^2 v^5 u^4+2 s^4 t v^5 u^4-4 s^2 t v^5 u^4+2 s^3 t^5 v^4 u^4+4 s^4 t^4 v^4 u^4+22 q s^3 t^4 v^4 u^4+8 s^2 t^4 v^4 u^4-10 q s t^4 v^4 u^4+22 q s^4 t^3 v^4 u^4-4 s^3 t^3 v^4 u^4-32 q s^2 t^3 v^4 u^4+6 q t^3 v^4 u^4+3 q s^5 t^2 v^4 u^4-8 s^4 t^2 v^4 u^4-16 q s^3 t^2 v^4 u^4+14 s^2 t^2 v^4 u^4+5 q s t^2 v^4 u^4-6 t^2 v^4 u^4+12 s^3 t v^4 u^4-4 q s^2 t v^4 u^4-6 s t v^4 u^4-2 s^3 t^3 u^4-2 s t^3 u^4+2 s^2 t^5 v^3 u^4-8 q s^4 t^4 v^3 u^4-10 s^3 t^4 v^3 u^4+22 q s^2 t^4 v^3 u^4+6 s t^4 v^3 u^4-6 q s^5 t^3 v^3 u^4-10 s^4 t^3 v^3 u^4+30 q s^3 t^3 v^3 u^4+8 s^2 t^3 v^3 u^4-20 q s t^3 v^3 u^4-6 t^3 v^3 u^4+2 q s^2 v^3 u^4+4 q s^4 t^2 v^3 u^4-2 s^3 t^2 v^3 u^4-20 q s^2 t^2 v^3 u^4+6 s t^2 v^3 u^4+2 q s^3 t v^3 u^4+14 s^2 t v^3 u^4+2 q s t v^3 u^4-q s^5 t^2 u^4-2 s^4 t^2 u^4-2 q s^3 t^2 u^4-2 s^2 t^2 u^4-q s t^2 u^4-2 s^3 t^5 v^2 u^4-8 q s^3 t^4 v^2 u^4-10 s^2 t^4 v^2 u^4+2 q s t^4 v^2 u^4-2 q s^3 v^2 u^4-10 q s^4 t^3 v^2 u^4-8 s^3 t^3 v^2 u^4+4 q s^2 t^3 v^2 u^4-6 q t^3 v^2 u^4+12 s t^3 v^2 u^4+2 s^2 v^2 u^4+5 s^4 t^2 v^2 u^4+10 q s^3 t^2 v^2 u^4+8 s^2 t^2 v^2 u^4-2 q s t^2 v^2 u^4+3 t^2 v^2 u^4+4 q s^4 t v^2 u^4-4 s^3 t v^2 u^4+6 s t v^2 u^4+6 s^3 t^4 v u^4+2 q s^5 t^3 v u^4+5 s^4 t^3 v u^4+4 q s^3 t^3 v u^4-6 s^2 t^3 v u^4+2 q s t^3 v u^4+3 t^3 v u^4+q s^4 t^2 v u^4-6 s^3 t^2 v u^4+4 q s^2 t^2 v u^4+3 q t^2 v u^4+4 s t^2 v u^4-2 s^4 t v u^4+2 q s^3 t v u^4+2 q s t v u^4-2 s^2 t^3 v^6 x u^4-2 t^3 v^6 x u^4-2 s^3 t^2 v^6 x u^4-2 s t^2 v^6 x u^4+2 s^2 t^4 v^5 x u^4+4 s^3 t^3 v^5 x u^4+6 s t^3 v^5 x u^4+2 s^4 t^2 v^5 x u^4+12 s^2 t^2 v^5 x u^4+6 s^3 t v^5 x u^4-2 s^2 t^5 v^4 x u^4-6 s^3 t^4 v^4 x u^4-2 s^3 v^4 x u^4-4 s^4 t^3 v^4 x u^4-6 s^2 t^3 v^4 x u^4+6 t^3 v^4 x u^4-10 s^3 t^2 v^4 x u^4+14 s t^2 v^4 x u^4-4 s^4 t v^4 x u^4+6 s^2 t v^4 x u^4+2 s^4 t^3 x u^4+2 s^2 t^3 x u^4+3 s^3 t^5 v^3 x u^4+6 s^4 t^4 v^3 x u^4+11 s^2 t^4 v^3 x u^4+3 s^5 t^3 v^3 x u^4+22 s^3 t^3 v^3 x u^4-11 s t^3 v^3 x u^4-3 s^2 v^3 x u^4+11 s^4 t^2 v^3 x u^4-22 s^2 t^2 v^3 x u^4-3 t^2 v^3 x u^4-11 s^3 t v^3 x u^4-6 s t v^3 x u^4+2 s^5 t^2 x u^4+2 s^3 t^2 x u^4+2 s^2 t^5 v^2 x u^4-6 s^3 t^4 v^2 x u^4+4 s t^4 v^2 x u^4+2 s^3 v^2 x u^4-14 s^4 t^3 v^2 x u^4+10 s^2 t^3 v^2 x u^4-6 s^5 t^2 v^2 x u^4+6 s^3 t^2 v^2 x u^4+4 s t^2 v^2 x u^4+6 s^2 t v^2 x u^4-6 s^2 t^4 v x u^4-12 s^3 t^3 v x u^4-2 s t^3 v x u^4-6 s^4 t^2 v x u^4-4 s^2 t^2 v x u^4-2 s^3 t v x u^4+2 s^4 t^3 v^6 u^3+2 s^2 t^3 v^6 u^3-2 s^3 t^2 v^6 u^3-2 s t^2 v^6 u^3+2 s^4 t^4 v^5 u^3+12 q s^3 t^4 v^5 u^3+10 q s^4 t^3 v^5 u^3-6 s^3 t^3 v^5 u^3-14 q s^2 t^3 v^5 u^3+4 s t^3 v^5 u^3+q s^5 t^2 v^5 u^3-5 s^4 t^2 v^5 u^3-8 q s^3 t^2 v^5 u^3+6 s^2 t^2 v^5 u^3+3 q s t^2 v^5 u^3-3 t^2 v^5 u^3+6 s^3 t v^5 u^3-2 s^2 t^5 v^4 u^3-10 q s^4 t^4 v^4 u^3-4 s^3 t^4 v^4 u^3+22 q s^2 t^4 v^4 u^3+6 s t^4 v^4 u^3-2 s^3 v^4 u^3-6 q s^5 t^3 v^4 u^3-5 s^4 t^3 v^4 u^3+32 q s^3 t^3 v^4 u^3-8 s^2 t^3 v^4 u^3-22 q s t^3 v^4 u^3-3 t^3 v^4 u^3+5 q s^4 t^2 v^4 u^3-8 s^3 t^2 v^4 u^3-16 q s^2 t^2 v^4 u^3+3 q t^2 v^4 u^3+12 s t^2 v^4 u^3+4 q s^3 t v^4 u^3+10 s^2 t v^4 u^3+s^4 t^3 u^3-t^3 u^3-22 q s^3 t^4 v^3 u^3-14 s^2 t^4 v^3 u^3+8 q s t^4 v^3 u^3-2 q s^3 v^3 u^3-20 q s^4 t^3 v^3 u^3-2 s^3 t^3 v^3 u^3+30 q s^2 t^3 v^3 u^3-6 q t^3 v^3 u^3+6 s t^3 v^3 u^3-2 s^2 v^3 u^3+10 s^4 t^2 v^3 u^3+20 q s^3 t^2 v^3 u^3-8 s^2 t^2 v^3 u^3-4 q s t^2 v^3 u^3+6 t^2 v^3 u^3+2 q s^4 t v^3 u^3-10 s^3 t v^3 u^3+2 q s^2 t v^3 u^3+6 s t v^3 u^3-q s^4 t^2 u^3-2 s^3 t^2 u^3-2 q s^2 t^2 u^3-q t^2 u^3-2 s t^2 u^3+2 q s^4 t^4 v^2 u^3+12 s^3 t^4 v^2 u^3-8 q s^2 t^4 v^2 u^3-6 s t^4 v^2 u^3+2 s^3 v^2 u^3+6 q s^5 t^3 v^2 u^3+8 s^4 t^3 v^2 u^3-4 q s^3 t^3 v^2 u^3-14 s^2 t^3 v^2 u^3+10 q s t^3 v^2 u^3+6 t^3 v^2 u^3-2 q s^2 v^2 u^3-2 q s^4 t^2 v^2 u^3-4 s^3 t^2 v^2 u^3+10 q s^2 t^2 v^2 u^3-4 s^4 t v^2 u^3-8 s^2 t v^2 u^3-4 q s t v^2 u^3-2 s^4 t^4 v u^3+4 s^2 t^4 v u^3+2 q s^4 t^3 v u^3+4 s^3 t^3 v u^3+4 q s^2 t^3 v u^3+2 q t^3 v u^3-6 s t^3 v u^3-3 q s^5 t^2 v u^3-3 s^4 t^2 v u^3-4 q s^3 t^2 v u^3-6 s^2 t^2 v u^3-q s t^2 v u^3-t^2 v u^3+2 q s^4 t v u^3+2 q s^2 t v u^3-2 s t v u^3+2 s^3 t^3 v^6 x u^3+2 s t^3 v^6 x u^3+s^4 t^2 v^6 x u^3-t^2 v^6 x u^3-2 s^3 t^4 v^5 x u^3-4 s t^4 v^5 x u^3-2 s^4 t^3 v^5 x u^3-6 s^2 t^3 v^5 x u^3+6 t^3 v^5 x u^3-4 s^3 t^2 v^5 x u^3+10 s t^2 v^5 x u^3-2 s^4 t v^5 x u^3+4 s^2 t v^5 x u^3+2 s^3 t^5 v^4 x u^3+6 s^4 t^4 v^4 x u^3+6 s^2 t^4 v^4 x u^3+3 s^5 t^3 v^4 x u^3+10 s^3 t^3 v^4 x u^3-13 s t^3 v^4 x u^3+4 s^4 t^2 v^4 x u^3-28 s^2 t^2 v^4 x u^3-12 s^3 t v^4 x u^3+2 s t v^4 x u^3-s^5 t^3 x u^3+s t^3 x u^3-10 s^3 t^4 v^3 x u^3+6 s t^4 v^3 x u^3-16 s^4 t^3 v^3 x u^3+26 s^2 t^3 v^3 x u^3-6 t^3 v^3 x u^3-6 s^5 t^2 v^3 x u^3+26 s^3 t^2 v^3 x u^3-16 s t^2 v^3 x u^3+6 s^4 t v^3 x u^3-10 s^2 t v^3 x u^3+2 s^4 t^2 x u^3+2 s^2 t^2 x u^3+2 s^4 t^4 v^2 x u^3-12 s^2 t^4 v^2 x u^3-28 s^3 t^3 v^2 x u^3+4 s t^3 v^2 x u^3+2 s^2 v^2 x u^3-13 s^4 t^2 v^2 x u^3+10 s^2 t^2 v^2 x u^3+3 t^2 v^2 x u^3+6 s^3 t v^2 x u^3+6 s t v^2 x u^3+4 s^3 t^4 v x u^3-2 s t^4 v x u^3+10 s^4 t^3 v x u^3-4 s^2 t^3 v x u^3+6 s^5 t^2 v x u^3-6 s^3 t^2 v x u^3-2 s t^2 v x u^3-4 s^4 t v x u^3-2 s^2 t v x u^3-4 q s^4 t^4 v^5 u^2+2 s^3 t^4 v^5 u^2-2 q s^5 t^3 v^5 u^2+6 q s^3 t^3 v^5 u^2-6 s^2 t^3 v^5 u^2+2 q s^4 t^2 v^5 u^2-2 s^3 t^2 v^5 u^2-2 q s^2 t^2 v^5 u^2+4 s t^2 v^5 u^2+2 s^2 t v^5 u^2+2 s^3 t^5 v^4 u^2-14 q s^3 t^4 v^4 u^2-3 s^2 t^4 v^4 u^2-10 q s^4 t^3 v^4 u^2+4 s^3 t^3 v^4 u^2+20 q s^2 t^3 v^4 u^2-2 s t^3 v^4 u^2-s^2 v^4 u^2+5 s^4 t^2 v^4 u^2+12 q s^3 t^2 v^4 u^2-4 s^2 t^2 v^4 u^2-6 q s t^2 v^4 u^2+3 t^2 v^4 u^2-4 s^3 t v^4 u^2-2 q s^2 t v^4 u^2+3 s^2 t^5 v^3 u^2+4 q s^4 t^4 v^3 u^2+4 s^3 t^4 v^3 u^2-11 q s^2 t^4 v^3 u^2-6 s t^4 v^3 u^2+2 s^3 v^3 u^2+6 q s^5 t^3 v^3 u^2+s^4 t^3 v^3 u^2-12 q s^3 t^3 v^3 u^2+2 s^2 t^3 v^3 u^2+14 q s t^3 v^3 u^2+3 t^3 v^3 u^2+q s^2 v^3 u^2-7 q s^4 t^2 v^3 u^2+6 s^3 t^2 v^3 u^2+8 q s^2 t^2 v^3 u^2-3 q t^2 v^3 u^2-6 s t^2 v^3 u^2-2 s^4 t v^3 u^2-7 s^2 t v^3 u^2-2 s^3 t^5 v^2 u^2-4 s^4 t^4 v^2 u^2+3 q s^3 t^4 v^2 u^2+8 s^2 t^4 v^2 u^2-2 q s t^4 v^2 u^2-q s^3 v^2 u^2+4 q s^4 t^3 v^2 u^2+10 s^3 t^3 v^2 u^2-4 q s^2 t^3 v^2 u^2+2 q t^3 v^2 u^2-4 s t^3 v^2 u^2+2 s^2 v^2 u^2-3 q s^5 t^2 v^2 u^2-6 q s^3 t^2 v^2 u^2-4 s^2 t^2 v^2 u^2+q s t^2 v^2 u^2-2 t^2 v^2 u^2+4 q s^4 t v^2 u^2-2 s^3 t v^2 u^2+2 q s^2 t v^2 u^2-2 s t v^2 u^2+2 s t^4 v u^2+2 s^4 t^3 v u^2+2 s^2 t^3 v u^2-2 t^3 v u^2-2 q s^4 t^2 v u^2-4 s^3 t^2 v u^2-2 q s^2 t^2 v u^2-2 s t^2 v u^2+2 q s^3 t v u^2+2 s^2 t v u^2+2 q s t v u^2+2 s^4 t^4 v^5 x u^2+4 s^2 t^4 v^5 x u^2+s^5 t^3 v^5 x u^2-7 s t^3 v^5 x u^2-s^4 t^2 v^5 x u^2-4 s^2 t^2 v^5 x u^2+3 t^2 v^5 x u^2+2 s t v^5 x u^2-2 s^2 t^5 v^4 x u^2-6 s^3 t^4 v^4 x u^2+8 s t^4 v^4 x u^2-2 s^3 v^4 x u^2-6 s^4 t^3 v^4 x u^2+20 s^2 t^3 v^4 x u^2-6 t^3 v^4 x u^2-2 s^5 t^2 v^4 x u^2+16 s^3 t^2 v^4 x u^2-14 s t^2 v^4 x u^2+4 s^4 t v^4 x u^2-10 s^2 t v^4 x u^2+2 s^3 t^5 v^3 x u^2+4 s^4 t^4 v^3 x u^2-10 s^2 t^4 v^3 x u^2-24 s^3 t^3 v^3 x u^2+8 s t^3 v^3 x u^2-2 s^2 v^3 x u^2-8 s^4 t^2 v^3 x u^2+24 s^2 t^2 v^3 x u^2+10 s^3 t v^3 x u^2-4 s t v^3 x u^2+2 s^2 t^5 v^2 x u^2+10 s^3 t^4 v^2 x u^2-4 s t^4 v^2 x u^2+2 s^3 v^2 x u^2+14 s^4 t^3 v^2 x u^2-16 s^2 t^3 v^2 x u^2+2 t^3 v^2 x u^2+6 s^5 t^2 v^2 x u^2-20 s^3 t^2 v^2 x u^2+6 s t^2 v^2 x u^2-8 s^4 t v^2 x u^2+6 s^2 t v^2 x u^2-2 s^4 t^4 v x u^2-3 s^5 t^3 v x u^2+4 s^3 t^3 v x u^2+s t^3 v x u^2+7 s^4 t^2 v x u^2-t^2 v x u^2-4 s^3 t v x u^2-2 s t v x u^2+2 q s^4 t^4 v^4 u-2 s^3 t^4 v^4 u+2 q s^5 t^3 v^4 u-2 s^4 t^3 v^4 u-4 q s^3 t^3 v^4 u+4 s^2 t^3 v^4 u-4 q s^4 t^2 v^4 u+4 s^3 t^2 v^4 u+2 q s^2 t^2 v^4 u-2 s t^2 v^4 u+2 q s^3 t v^4 u-2 s^2 t v^4 u-2 s^3 t^5 v^3 u-2 s^4 t^4 v^3 u+3 q s^3 t^4 v^3 u+3 s^2 t^4 v^3 u-q s^3 v^3 u+2 q s^4 t^3 v^3 u+4 s^3 t^3 v^3 u-6 q s^2 t^3 v^3 u+s^2 v^3 u-q s^5 t^2 v^3 u+s^4 t^2 v^3 u-4 q s^3 t^2 v^3 u-2 s^2 t^2 v^3 u+3 q s t^2 v^3 u-t^2 v^3 u+2 q s^4 t v^3 u-2 s^3 t v^3 u+2 q s^2 t v^3 u-s^2 t^5 v^2 u+q s^2 t^4 v^2 u+2 s t^4 v^2 u+s^4 t^3 v^2 u-2 q s t^3 v^2 u-t^3 v^2 u-q s^2 v^2 u-q s^4 t^2 v^2 u-2 s^3 t^2 v^2 u+q t^2 v^2 u+2 q s^3 t v^2 u+s^2 t v^2 u+2 s^3 t^5 v^4 x u+2 s^4 t^4 v^4 x u-7 s^2 t^4 v^4 x u-8 s^3 t^3 v^4 x u+8 s t^3 v^4 x u-s^2 v^4 x u-s^4 t^2 v^4 x u+10 s^2 t^2 v^4 x u-3 t^2 v^4 x u+2 s^3 t v^4 x u-4 s t v^4 x u+2 s^2 t^5 v^3 x u+6 s^3 t^4 v^3 x u-4 s t^4 v^3 x u+2 s^3 v^3 x u+6 s^4 t^3 v^3 x u-12 s^2 t^3 v^3 x u+2 t^3 v^3 x u+2 s^5 t^2 v^3 x u-12 s^3 t^2 v^3 x u+6 s t^2 v^3 x u-4 s^4 t v^3 x u+6 s^2 t v^3 x u-s^3 t^5 v^2 x u-4 s^4 t^4 v^2 x u+2 s^2 t^4 v^2 x u-3 s^5 t^3 v^2 x u+10 s^3 t^3 v^2 x u-s t^3 v^2 x u+2 s^2 v^2 x u+8 s^4 t^2 v^2 x u-8 s^2 t^2 v^2 x u-7 s^3 t v^2 x u+2 s t v^2 x u-s^3 t^5 v^3 x-2 s^4 t^4 v^3 x+3 s^2 t^4 v^3 x-s^5 t^3 v^3 x+6 s^3 t^3 v^3 x-3 s t^3 v^3 x+s^2 v^3 x+3 s^4 t^2 v^3 x-6 s^2 t^2 v^3 x+t^2 v^3 x-3 s^3 t v^3 x+2 s t v^3 x = 0\]
化简到以上几式也是比较麻烦的,先是通过消元得到关于p,x,q的独立二次方程,然后计算其判别式发现存在公因式,最后才构造得到。
一个用于检验的例子是
\[s \to \frac{1}{2},t \to \frac{3}{2},u \to \frac{1}{3},v \to \frac{5}{4},p \to \frac{{46033 - \sqrt {1171201201} }}{{35696}},q \to \frac{{76879 + \sqrt {1171201201} }}{{97520}},x \to \frac{{105701 + 3\sqrt {1171201201} }}{{123384}},y \to \frac{{76879 - \sqrt {1171201201} }}{{97520}}\]
这在化简和因子取舍过程中是极有用的。
现在我们可以来验证四内心共圆了, 根据 $I_1,I_2,I_3,I_4$的交比为实数,我们可以设
\[\left(-i q s t^2 p^2+i q s p^2+2 q s t p^2-q s t^2 v p^2+q s v p^2-2 i q s t v p^2+i q s t^2 x y p^2-i q s x y p^2-2 q s t x y p^2+q s t^2 v x y p^2-q s v x y p^2+2 i q s t v x y p^2+2 q s t^2 p-2 q s p-i q^2 t p+i q^2 s^2 t p-i s^2 t p+2 q s^2 t p+i t p-2 q t p+2 q^2 s t p-2 s t p-q^2 s t^2 v p+s t^2 v p+q^2 s v p-s v p-2 i q^2 s t v p+2 i s t v p-i q^2 s t^2 u v p+i s t^2 u v p-2 q s t^2 u v p+i q^2 s u v p-i s u v p+2 q s u v p+i q^2 t u v p-i q^2 s^2 t u v p+i s^2 t u v p-2 q s^2 t u v p-i t u v p+2 q t u v p-q^2 s t^2 y p+2 i q s t^2 y p+s t^2 y p+q^2 s y p-2 i q s y p-s y p+q^2 t y p-q^2 s^2 t y p+2 i q s^2 t y p+s^2 t y p-2 i q t y p-t y p+q^2 s t^2 u v y p-2 i q s t^2 u v y p-s t^2 u v y p-q^2 s u v y p+2 i q s u v y p+s u v y p-q^2 t u v y p+q^2 s^2 t u v y p-2 i q s^2 t u v y p-s^2 t u v y p+2 i q t u v y p+t u v y p+i q^2 s t^2 x y p-i s t^2 x y p-i q^2 s x y p+i s x y p-2 q^2 s t x y p+2 s t x y p+q^2 s t^2 v x y p-s t^2 v x y p-q^2 s v x y p+s v x y p+2 i q^2 s t v x y p-2 i s t v x y p+i q s t^2-i q s-2 q s t+q s t^2 v-q s v+2 i q s t v-i q s t^2 x y+i q s x y+2 q s t x y-q s t^2 v x y+q s v x y-2 i q s t v x y\right)-T ((-i+q) (i+t) (i s t+s v t-u v t+t+i s v-s u v) (-i p q+p y q-x y q+q-i p y-p x y)) (-i p q+p t q+s t q-q+i s t-t) = 0\]
其中T是实数。这样设法的好处是可以简化消元过程(在我所知的平面几何问题中,仅有少数几个问题需要这样特别地选取参数,才可使得运算不至于超出mathematica的极限)。
上式取实虚部得到两个T关于(p,q,x,y)的方程,我们利用前述的关系式消去p,x,y。
消元过程是利用q的二次方程,逐渐降低p,x,y,q在待证方程中的次数(每次只能使p、q、x或y的最高幂次减1, 而且需注意利用因子, 否则会超内存),最后得到关于T,q的两个线性方程式(d + c q + b T + a q T = 0的形式)。
然后消元T, 最后的式子(关于q的二次方程)其实并不好做因式分解(项数过大), 不过因为我们知道其中必定含有前面已知的q的二次式因子, 直接代入,用Cancel命令即可进行了。

另外两个结论的做法类似, 但相比于这个结论就简单太多了。

点评

为什么多数时候编译不了  发表于 2020-11-3 21:30
不会,多项式远比三角函数或根式更易处理。  发表于 2020-10-26 09:45
用我链接论文中的方法会简单一些吗?因为不用分离实部和虚部。  发表于 2020-10-25 21:38
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-31 22:22:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2020-10-31 22:34 编辑
creasson 发表于 2020-10-12 11:06
新增两个结论:
1.  四边形ABCD有内切圆,P满足角APB=角CPD,△PAB,△PBC,△PCD,△PAD的内切圆分别为⊙I ...


这道题与泰博定理有相似之处,用下图线性构造方式或许证明相对简单。

图中的O1和O2构造是数学中国的一位网友最早在论坛提出的。先构造△ABC内心,再做过A点的直线交BC与D,再依次构造各内心,不知道Mathematica计算能力如何。

点评

谢谢  发表于 2020-11-1 23:14
回复见https://bbs.emath.ac.cn/thread-9659-1-1.html  发表于 2020-11-1 22:45
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-9-17 21:10 , Processed in 0.066989 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表