整数三角形

王守恩

求三个整数`a,b,c`,满足`0＜a≤b≤c`，并且
   \(\D\arcsin\left(\frac{a}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{d}\right)=\pi\)
   \(\D d=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

1，当 3 个数相同时，任意数组都可以有解。
2，当其中有 2 个数相同时，有 2 种可能：
   `a<b=c`, `a`可以是从 1 开始的任意数；
   `a=b<c`, `c≤\sqrt{2}a`。
3，当3个数都不相同时，譬如：
   `(a,b,c)=(1,2,3)，(2,3,4)，(3,5,6)，(4,5,7)，(5,7,9)，...`都是无解的。
    为什么这些数组是无解的？
   `(a,b,c)=(3,4,5)，(4,6,7)，(5,8,9)，(6,7,9)，(7,8,9)，...`都是有解的。
    什么样的数组才是有解的？

hujunhua

对于一个三边长为 `a,b,c`的三角形，有\[
\D\arcsin\left(\frac{a}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{d}\right)=\pi\]\[
\D d=\frac{abc}{2\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}
\]不知道你把  2 放到了分子上有何深意。

northwolves

$sinA=\frac{a}{d},sinB=\frac{b}{d},sinC=\frac{c}{d}$
$S\triangleABC =\frac {1}{2}ab sinC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bcsinA$
$S^3=\frac{a^3b^3c^3}{8d^3}$---->$S=\frac{abc}{2d}$

northwolves

hujunhua 发表于 2020-11-29 18:36
对于一个三边长为 `a,b,c`的三角形，有\[
\D\arcsin\left(\frac{a}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{d}\r ...

貌似2就应该在分子上呢，比如$a=b=c=1,则d=\frac{2}{\sqrt3}$

hujunhua

northwolves 发表于 2020-11-29 20:51
貌似2就应该在分子上呢，比如$a=b=c=1,则d=\frac{2}{\sqrt3}$

\(d=\frac{abc}{2S}=\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)
没注意他分母不是S，而是4S。

不明白他的坑在哪里，是要求 d 也是整数吗？

王守恩

hujunhua 发表于 2020-11-30 01:23
\(d=\frac{abc}{2S}=\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)
没注意他分母不是S，而是4S。

谢谢各位大侠！
我就是很想知道：是否有一个比较简单方法，
能知道a,b,c 这3个数(不相同的正整数)是有解还是无解。

hujunhua

王守恩 发表于 2020-11-30 08:18
谢谢各位大侠！
我就是很想知道：是否有一个比较简单方法，
能知道a,b,c 这3个数(不相同的正整数)是 ...

你若不额外要求 d 为整数，则任意构成锐角三角形或者直角三角形的3个正整数a,b,c都能满足方程，因为你那方程在此范围内是一个恒等式。
只对锐角三角形成立，是由`\arcsin x`的值域决定的，值域取决于 `\sin x`的单调区间。

你若换成\[
\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\arccos\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\arccos\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\pi
\]则对任意满足三角形不等式的3个正整数 a,b,c都恒成立。

northwolves

若使$d=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}$为整数，abc有没有通解？

王守恩

northwolves 发表于 2020-11-30 12:31
若使$d=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}$为整数，abc有没有通解？

小结。
1，a≤b≤c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\ \  (1)\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

2，a≤b<c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)-\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\ \ (2)\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

当a,b,c组成的三角形是锐角三角形,直角三角形时，(1)式有解。
当a,b,c组成的三角形是钝角三角形,直角三角形时，(2)式有解。
若 (1),(2) 式同时有解，则 n 是正整数。



补充内容 (2020-12-3 19:38):
最后一句错啦！详细见 10 楼。

zeroieme

northwolves 发表于 2020-11-30 12:31
若使$d=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}$为整数，abc有没有通解？

$a=m_1 n_1 \left(m_2^2+n_2^2\right)$
$b=m_2 n_2 \left(m_1^2+n_1^2\right)$
$c=|m_1 n_2-m_2 n_1| \left(m_1 m_2+n_1 n_2\right)$
$d=\frac{1}{2} \left(m_1^2+n_1^2\right) \left(m_2^2+n_2^2\right)$

各种因子不能为0，并且\(m_1,n_1\)，\(m_2,n_2\)至少一对同为奇数或同为偶数。