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[求助] 整数三角形

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发表于 2020-11-29 10:36:58 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
求三个整数`a,b,c`,满足`0<a≤b≤c`,并且
   \(\D\arcsin\left(\frac{a}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{d}\right)=\pi\)
   \(\D d=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

1,当 3 个数相同时,任意数组都可以有解。
2,当其中有 2 个数相同时,有 2 种可能:
   `a<b=c`, `a`可以是从 1 开始的任意数;
   `a=b<c`, `c≤\sqrt{2}a`。
3,当3个数都不相同时,譬如:
   `(a,b,c)=(1,2,3),(2,3,4),(3,5,6),(4,5,7),(5,7,9),...`都是无解的。
    为什么这些数组是无解的?
   `(a,b,c)=(3,4,5),(4,6,7),(5,8,9),(6,7,9),(7,8,9),...`都是有解的。
    什么样的数组才是有解的?

点评

不要在标题上使用公式解析  发表于 2020-11-30 08:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-29 18:36:37 | 显示全部楼层
对于一个三边长为 `a,b,c`的三角形,有\[
\D\arcsin\left(\frac{a}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{d}\right)=\pi\]\[
\D d=\frac{abc}{2\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}
\]不知道你把  2 放到了分子上有何深意。
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发表于 2020-11-29 20:40:51 | 显示全部楼层
$sinA=\frac{a}{d},sinB=\frac{b}{d},sinC=\frac{c}{d}$
$S\triangleABC =\frac {1}{2}ab sinC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bcsinA$
$S^3=\frac{a^3b^3c^3}{8d^3}$---->$S=\frac{abc}{2d}$

点评

被你抢先了……我记得高中时候超过三角形面积公式……里面的确有海伦公式和abc/4R  发表于 2020-11-29 21:48
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-11-29 20:51:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2020-11-29 20:52 编辑
hujunhua 发表于 2020-11-29 18:36
对于一个三边长为 `a,b,c`的三角形,有\[
\D\arcsin\left(\frac{a}{d}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{d}\r ...


貌似2就应该在分子上呢,比如$a=b=c=1,则d=\frac{2}{\sqrt3}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-11-30 01:23:53 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2020-11-29 20:51
貌似2就应该在分子上呢,比如$a=b=c=1,则d=\frac{2}{\sqrt3}$


\(d=\frac{abc}{2S}=\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)
没注意他分母不是S,而是4S。

不明白他的坑在哪里,是要求 d 也是整数吗?
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 楼主| 发表于 2020-11-30 08:18:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-30 08:21 编辑
hujunhua 发表于 2020-11-30 01:23
\(d=\frac{abc}{2S}=\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)
没注意他分母不是S,而是4S。


谢谢各位大侠!
我就是很想知道:是否有一个比较简单方法,
能知道a,b,c 这3个数(不相同的正整数)是有解还是无解。
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发表于 2020-11-30 08:42:21 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-11-30 08:18
谢谢各位大侠!
我就是很想知道:是否有一个比较简单方法,
能知道a,b,c 这3个数(不相同的正整数)是 ...


你若不额外要求 d 为整数,则任意构成锐角三角形或者直角三角形的3个正整数a,b,c都能满足方程,因为你那方程在此范围内是一个恒等式。
只对锐角三角形成立,是由`\arcsin x`的值域决定的,值域取决于 `\sin x`的单调区间。

你若换成\[
\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\arccos\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\arccos\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\pi
\]则对任意满足三角形不等式的3个正整数 a,b,c都恒成立。

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参与人数 1威望 +6 金币 +6 贡献 +6 经验 +6 鲜花 +6 收起 理由
王守恩 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 谢谢!一两拨千金:值域决定区间。谢谢!

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发表于 2020-11-30 12:31:46 | 显示全部楼层
若使$d=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}$为整数,abc有没有通解?

点评

谢谢mathe,我琢磨琢磨  发表于 2020-12-1 11:12
其实就是搜索整数p,q,r使得pqr(p+q+r)是完全平方数,最后所有数字乘上常数就可以变成整数解了  发表于 2020-11-30 12:54
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 楼主| 发表于 2020-12-1 13:49:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-12-1 13:50 编辑
northwolves 发表于 2020-11-30 12:31
若使$d=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}$为整数,abc有没有通解?


小结。
1,a≤b≤c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\ \  (1)\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

2,a≤b<c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)-\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\ \ (2)\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

当a,b,c组成的三角形是锐角三角形,直角三角形时,(1)式有解。
当a,b,c组成的三角形是钝角三角形,直角三角形时,(2)式有解。
若 (1),(2) 式同时有解,则 n 是正整数。



补充内容 (2020-12-3 19:38):
最后一句错啦!详细见 10 楼。
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发表于 2020-12-3 06:53:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2020-12-3 07:18 编辑
northwolves 发表于 2020-11-30 12:31
若使$d=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}$为整数,abc有没有通解?


$a=m_1 n_1 \left(m_2^2+n_2^2\right)$
$b=m_2 n_2 \left(m_1^2+n_1^2\right)$
$c=|m_1 n_2-m_2 n_1| \left(m_1 m_2+n_1 n_2\right)$
$d=\frac{1}{2} \left(m_1^2+n_1^2\right) \left(m_2^2+n_2^2\right)$

各种因子不能为0,并且\(m_1,n_1\),\(m_2,n_2\)至少一对同为奇数或同为偶数。

点评

不明觉厉!怎么逐步推导出来的呢?  发表于 2020-12-6 20:55

评分

参与人数 2威望 +20 金币 +20 贡献 +20 经验 +20 鲜花 +20 收起 理由
northwolves + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 赞一个!
王守恩 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 来得不容易!

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