整数三角形

northwolves

$root{3}{a+b\sqrt{c}}+root{3}{a-b\sqrt{c}}=2$

$b\sqrt{c}=\frac{a+8}{3}\sqrt{\frac{a-1}{3}}$

①若$a=1$,则$b=0 或c=0$

若$a>1$,令$a=3d+1$则有
$b\sqrtc=(d+3)\sqrtd$

②若$c=d$,则有
$a=3d+1$
$b=d+3$
$c=d$
$d$为任意非负整数

③若$c>d,$,令$c=k^2*d$,$|k|>=1$则有
$a=3bk-8$
$b$为非0任意整数
$c=k^2(bk-3)$
$k$为任意整数且$bk>3$

④若$c<d,$,令$d=k^2*c$,$|k|>=1$则有
$a=3ck^2+1$
$b=ck^3+3k$
$c$为任意非负整数
$k$为任意非0整数

王守恩

lsr314 发表于 2020-12-16 19:07
不过是把$((1+\sqrt(a))^n)^(1/n)+((1-\sqrt(a))^n)^(1/n)=2$展开而已

举个例子。
\(\sqrt[29]{a+b\sqrt{30}}+\sqrt[29]{a-b\sqrt{30}}=2\ \ a=?\ \ b=?\)

王守恩

northwolves 发表于 2020-12-17 10:47
$root{3}{a+b\sqrt{c}}+root{3}{a-b\sqrt{c}}=2$

$b\sqrt{c}=\frac{a+8}{3}\sqrt{\frac{a-1}{3}}$

求\(\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=2\)通项公式
谢谢 northwolves！这样想，不知可对？
\(b\sqrt{c}=\sqrt{b^2c}\ \ \)(有多种拆分方法)，但 a 好像不能变(只能出现一次)？

lsr314

王守恩 发表于 2020-12-17 12:29
举个例子。
\(\sqrt[29]{a+b\sqrt{30}}+\sqrt[29]{a-b\sqrt{30}}=2\ \ a=?\ \ b=?\)

$(1+sqrt(30))^29=169528196749588042378081 + 30952855107577284099149\sqrt(30)$
令$a=169528196749588042378081,b=30952855107577284099149$,
则$(a+b\sqrt(30))^(1/29)=((1+sqrt(30))^29)^(1/29)=1+sqrt(30)$
同理$(a-b\sqrt(30))^(1/29)=((1-sqrt(30))^29)^(1/29)=1-sqrt(30)$
所以$(a+b\sqrt(30))^(1/29)+(a-b\sqrt(30))^(1/29)=2$

northwolves

王守恩 发表于 2020-12-17 14:43
求\(\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=2\)通项公式
谢谢 northwolves！这样想，不知可对 ...

$root[3]{a+sqrtb}+root[3]{a-sqrtb}=2$
$b=\frac{(a-1)(a+8)^2}{27}$
显然 $a>=1$
分情况讨论：$a=3k,3k+1,3k+2$
$a=3k+1$
$b=k(k+3)$
$k$任意非负整数  

lsr314

当然，解不是唯一的，根号前面可以任意乘一个系数

northwolves

$root[5]{a+sqrtb}+root[5]{a-sqrtb}=2$
$b=\frac{25(3a^2-96a-512)+((a+104)^2-8000)\sqrt{5a+20}}{125}$①
令$\sqrt{5a+20}=5c$，则有
$5c^2=a+4$
令$a=5d+1$
得$d=c^2-1$,$a=5c^2-4$②
带入①
$b=(c-1)(c^2+8c-4)^2$
故方程的整数解为：
$(a,b)=(5c^2-4,(c-1)(c^2+8c-4)^2)$
显然$c>=1$

取 $c=1....20$
(1,0)
(16,256)
(41,1682)
(76,5808)
(121,14884)
(176,32000)
(241,61206)
(316,107632)
(401,177608)
(496,278784)
(601,420250)
(716,612656)
(841,868332)
(976,1201408)
(1121,1627934)
(1276,2166000)
(1441,2835856)
(1616,3660032)
(1801,4663458)
(1996,5873584)

northwolves

取$c=6$,解为$(176,32000)$
即$root[5]{176+sqrt{32000}}+root[5]{176-sqrt{32000}}=2$

若写成如下形式：
$root[5]{a+b\sqrtc}+root[5]{a-b\sqrtc}=2$
由于 $32000=1^2*32000=2^2*8000=4^2*2000=5^2*1280=8^2*500=10^2*320=16^2*125=20^2*80=40^2*20=80^2*5$
故此时的解为：
$(176,±1,32000)$
$(176,±2,8000)$
$(176,±4,2000)$
$(176,±5,1280)$
$(176,±8,500)$
$(176,±10,320)$
$(176,±16,125)$
$(176,±20,80)$
$(176,±40,20)$
$(176,±80,5)$

王守恩

lsr314 发表于 2020-12-17 16:50
$(1+sqrt(30))^29=169528196749588042378081 + 30952855107577284099149\sqrt(30)$
令$a=16952819674958 ...

谢谢 lsr314！您的答案是对的(验算很简单)，用下面的方法怎么也出不来答案。
NSolve[{\(\sqrt[29]{x + y\sqrt{30} + Surd[x - y \sqrt{30}, 29] == 2, x > 0, y > 0}, {x, y}, Integers]

王守恩

lsr314 发表于 2020-12-16 12:57
更直接的方法是，代数整数的和、乘积、开方，以及它们的组合，结果仍然是代数整数，所以左边一定是代数整 ...

继续提问：若\(a, b, c\ \)是正整数。
试证：\(\sqrt[5]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[5]{a-b\sqrt{c}}=1\ \)无解。