整数三角形

王守恩

northwolves 发表于 2020-12-17 17:32
$root[5]{a+sqrtb}+root[5]{a-sqrtb}=2$
$b=\frac{25(3a^2-96a-512)+((a+104)^2-8000)\sqrt{5a+20}}{125}$ ...

给出\(\ \ \ \sqrt[2k+1]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[2K+1]{a-b\sqrt{c}}=2\ \ \ \)通项公式，请各位网友批评!
在这里，\(a, b\ \)是正整数(未知数)。c, k 是已知数\(\ \ c=1, 2, 3,...\ k=1, 2, 3,...\ \ \)

从简单说起
1，c=1
a=LinearRecurrence[{4,}, {1,}, k+1]
b=LinearRecurrence[{4,}, {1,}, k+1]
1，c=1
a=LinearRecurrence[{5, -4}, {1, 4}, k+1]
b=LinearRecurrence[{5, -4}, {1, 4}, k+1]

2，c=2
a=LinearRecurrence[{6, -1}, {1, 7}, k+1]
b=LinearRecurrence[{6, -1}, {1, 5}, k+1]

3，c=3
a=LinearRecurrence[{8, -4}, {1, 10}, k+1]
b=LinearRecurrence[{8, -4}, {1, 06}, k+1]

4，c=4
a=LinearRecurrence[{10, -9}, {1, 13}, k+1]
b=LinearRecurrence[{10, -9}, {1, 07}, k+1]

5，c=5
a=LinearRecurrence[{12, -16}, {1, 16}, k+1]
b=LinearRecurrence[{12, -16}, {1, 08}, k+1]

6，c=6
a=LinearRecurrence[{14, -25}, {1, 19}, k+1]
b=LinearRecurrence[{14, -25}, {1, 09}, k+1]

7，.......

8，c=c
a=LinearRecurrence[{2(c+1), -(c-1)^2}, {1, 3c+1}, k+1]
b=LinearRecurrence[{2(c+1), -(c-1)^2}, {1,  c+3}, k+1]

注：后面的数字串可是在 OIES 找不到的。

lsr314

王守恩 发表于 2020-12-18 08:06
继续提问：若\(a, b, c\ \)是正整数。
试证：\(\sqrt[5]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[5]{a-b\sqrt{c}}=1\ \)无解 ...

奇偶性分析，左边如果是正整数，则一定是偶数，不可能是奇数

王守恩

lsr314 发表于 2020-12-18 09:48
奇偶性分析，左边如果是正整数，则一定是偶数，不可能是奇数

再举个例子。电脑可以有吗？
\(\sqrt[2021]{a+b\sqrt{2020}}+\sqrt[2021]{a-b\sqrt{2020}}=2\ \ a=?\ \ b=?\)

lsr314

王守恩 发表于 2020-12-18 10:31
再举个例子。电脑可以有吗？
\(\sqrt[2021]{a+b\sqrt{2020}}+\sqrt[2021]{a-b\sqrt{2020}}=2\ \ a=?\  ...

直接列出表达式就行了，非要写成十进制？

王守恩

northwolves 发表于 2020-12-17 17:32
$root[5]{a+sqrtb}+root[5]{a-sqrtb}=2$
$b=\frac{25(3a^2-96a-512)+((a+104)^2-8000)\sqrt{5a+20}}{125}$ ...

还有简单的！！！

给出\(\D\ \ \ \sqrt[2k+1]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[2K+1]{a-b\sqrt{c}}=2\ \ \ \)通项公式，请各位网友批评!

在这里，\(a, b\ \)是正整数(未知数)。c, k 是已知数\(\ \ c=1, 2, 3,...\ k=1, 2, 3,...\ \ \)

\(\D a=\frac{(1+\sqrt{c})^{2k+1}+(1-\sqrt{c})^{2k+1}}{2}\)

\(\D b=\frac{(1+\sqrt{c})^{2k+1}-(1-\sqrt{c})^{2k+1}}{2\sqrt{c}}\)

王守恩

lsr314 发表于 2020-12-17 17:10
当然，解不是唯一的，根号前面可以任意乘一个系数

“当然，解不是唯一的，根号前面可以任意乘一个系数”

想了好几天，不敢问(非亲非故)。能举个例子吗？

\(\sqrt[2k+1]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[2k+1]{a-b\sqrt{c}}=n\)

若a,b,c,k,n 是正整数，给定c,k,n,  a,b(一对)是唯一解(如果有解) 。

gxqcn

王守恩 发表于 2020-12-20 08:08
“当然，解不是唯一的，根号前面可以任意乘一个系数”

想了好几天，不敢问(非亲非故)。能举个例子吗 ...

24# lsr314 给出非常巧妙的构造法，原理步骤都阐述得很明了了。

依葫芦画瓢，
由 \((3\pm2\sqrt{30})^{29}=786393652338024024002861454630723\pm 143575204762108680147928693771578\sqrt{30}\)

得：
当 \(c=30, k=14, n=6\) 时，
\((a,b)=(786393652338024024002861454630723,143575204762108680147928693771578)\) 是其一组解

王守恩

王守恩 发表于 2020-12-20 08:08
“当然，解不是唯一的，根号前面可以任意乘一个系数”

想了好几天，不敢问(非亲非故)。能举个例子吗 ...

解三角形基础知识。
1，\(a=\sin(2A)=2\sin(A)\cos(A)\)
2，\(b=\sin(2B)=2\sin(B)\cos(B)\)
3，\(c=\sin(2C)=2\sin(C)\cos(C)\)
4，\(R=\frac{\sin(2A)}{2\sin(2A)}=\frac{\sin(2B)}{2\sin(2B)}=\frac{1}{2}\)
5，\(s=2\cos(A)\cos(B)\cos(C)\)
6，\(r=2\sin(A)\sin(B)\sin(C)\)