看上去像个悖论，谁能来个清晰的解释

小铃铛

题中用的2个动词意思是不同的。rolls 是指翻滚，是沿着...表面翻滚。题中A沿着B的表面翻滚一周。
而题目最后提问的是revolve ，它是指旋转，是指围绕着自身某个点，某个轴旋转，问的是A沿着B翻滚了一周，到达原先位置，它本身旋转了几次。大家也看到了，旋转了4次。但需要明白的是，A沿着B翻滚，确实只翻滚了3周。这就是这题有趣的地方。

wayne

前面 大家都提到了自转和公转， 一开始我总觉得这个词汇不对劲，本质上是纯数学的问题，用了物理学的词汇，以至于 一度 混淆了 交流 。我一直在找合适的数学解释，所以就 举了个三叶草的 例子。
三叶草曲线$C$的极坐标方程是 $r(\theta)=sin(3\theta)$， 假设周长为$1$的小圆在周长的为$n$的三叶草曲线$C$上纯滚动运动，如果我们还假定了$n$是整数，那么小圆遍历完曲线$C$一个大循环刚好能回到出发点，这个时候小圆总共转了$g(n)$圈,求$g(n)$

zhouguang

是不是n+3圈呀？
1、周长1的圆，在长度n的线段上滚动，转n圈。
2、周长1的圆，绕一个点滚动一周后，转1圈。
3、周长1的圆，绕周长为n的三叶草滚动一遍后，相当于绕一个叶子的3倍，转n+3圈。

zhouguang

上当啦，上面的第3点是不对的，不相当于绕一个叶子的3倍。
在中间少转了一圈。
我改答案为n+2圈。哈哈。

mathe

三叶草有两个问题，一个是两片叶子中间有一段无法滚到。零一个问题是即使不考虑有部分无法滚到，还有一个尖角，从这个角的起始位置开始到结束于这个位置，如果路径长度正好是圆周长的长度，开始和结束时小圆的方向是不同的。
如果是一直沿着图上光滑路径行走，实际上走遍三个叶子是，只饶了两周，所以的确贴着滚动时饶了n+2圈

zhouguang

盗图哈
1、绿色切线有2对，所以外滚圆比内滚圆多转2圈。
2、内滚圆只有周长的加成哈。
3、所以，外滚圆n+2圈，内滚圆n圈。

wayne

我举出三叶草的 例子，其实是想 完全摆脱 物理学的 自转和公转 这种词汇，用纯数学的角度来 解释。

周长为$1$的小圆沿着长度为$n$的一般曲线做纯滚运动，多出来的圈数取决于 这个一般曲线的拓扑学意义上的自绕的圈数，而跟曲线自身的凹凸性，曲率半径，极值点 这种函数性态无关。

比如，三叶草可以  等价于 一个 线圈 打了一个钮结。把三叶草的曲线的其中一个结往外拉一下子，相当于这个曲线，极坐标方程是$r(\theta)=sin(\theta)$，所以$g(n) = n+2$


对于非封闭曲线，也分两种情况，比如直线, 不存在自交的情况，那么$g(n)=n$,
但是对于这种$x(t)=t -t^3,y(t)=-t^2$，自交了一次，打了一个结，所以$g(n) = n+1$

wayne

再比如，对于这个曲线，极坐标方程是$r(\theta)=sin(2\theta)$，因为曲线打了三圈，所以$g(n) = n+3$，那么，新的问题就是对于一般曲线，给定方程，那么 它的自绕圈数是多少？这是要往复变函数、围道积分，或者是钮结理论上引吗。。。

happysxyf

外摆线（圆外螺线）
假设有一个半径为R的定圆，若另一个半径为r的圆在其外滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条外摆线（圆外螺线）。

小圆绕大圆外转1圈，小圆自转k+1圈。

内外摆线的恩怨演示（fp3.exe演示代码）

1. fp3 o(i,j)=(3+t)*cos(i)-cos((3+t)*i),(3+t)*sin(i)-sin((3+t)*i),0  pi 15

复制代码

wayne

终于尘埃落定，找准方向了 。
准确的说，是微分几何的范畴，一般曲线的指数 ，总曲率（Total curvature），单位切向量关于起点的卷绕数 (Turning number)，对于封闭曲线，这个总曲率的值总是$2\pi$的整数倍。

https://en.wikipedia.org/wiki/Winding_number#Turning_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Total_curvature