看上去像个悖论，谁能来个清晰的解释

wayne

没想到终极结论涉及到了微分几何学，或者是 代数拓扑学。

结论： 周长为$1$的小圆在总长度为$n$的一般曲线$C$上做纯滚运动，那么，小圆转动的圈数$g(n)$跟曲线的总曲率(Total curvature)有关。曲率的定义是单位切向量沿曲线每单位长度转向的变化率

小圆转动的圈数$g(n)=n+k$,$k$是曲线的指数(the index of the curve,or turning number )，其意义就是单位切向量沿着曲线围绕原点的卷绕数(winding number)，
如果曲线$C$是闭合曲线，那么总曲率是$2\pi$的整数倍，即$k$是整数。k可正可负，单位切向量 围绕 原点，逆时针为正，顺时针为负。

(https://en.wikipedia.org/wiki/Winding_number#Turning_number)

https://en.wikipedia.org/wiki/Total_curvature

happysxyf

wayne 发表于 2021-3-13 17:01
没想到终极结论涉及到了微分几何学，或者是 代数拓扑学。

结论： 周长为$1$的小圆在总长度为$n$的一般曲 ...

k可以为负数，内摆线就是n-1圈，外摆线才是n+1圈

wayne

一个新的有意思的问题，对于抛物线，它的圈绕数 $k$肯定是$0<K<1$的。那么具体是多少呢？
换句话就是，一个小球，在抛物线上滚动运动，从无穷远处来，又回到无穷远的地方，它的圈绕数是多少？

设抛物线方程是$y^2=2px$,参数方程是$y(t)=2pt, x(t)=2pt^2$, 因为在极坐标系里$d\theta =\frac {1}{r^2}(xdy-ydx), r^{2}=x^{2}+y^{2}$，
那么  \[K = {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx) =\frac {1}{2\pi } \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}dt= \frac{1}{2}\]

从无穷远处来，回到无穷远的地方，方向改变了$\pi$，自饶了半圈。这个刚好符合 直觉....

wayne

mathe 发表于 2021-3-13 13:42
三叶草有两个问题，一个是两片叶子中间有一段无法滚到。零一个问题是即使不考虑有部分无法滚到，还有一个尖 ...

回到三叶草曲线的计算。计算结果好像跟前面目测的 不太对。并不是围绕原点 两圈，而是半圈。
\[K = {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx) =\frac {1}{2\pi } \int_{0}^{+\pi}\frac{1-\cos (6 t)}{2 \sin ^2(3 t)} dt= \frac{1}{2}\]

wayne

前面的线积分计算有问题,还是老老实实用切线来做吧.
对于抛物线,切线方程是$K(t) = tan(\theta) = \frac{1}{2t}$, $t$从负无穷到正无穷变化,方向变化是$\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{2} = \pi $,相当于$\frac{1}{2}$圈.

对于三叶草曲线$r(\theta)=sin(3\theta)$, 斜率表达式$K(t) = tan(\theta) = \frac{2 \sin (4 t)-\sin (2 t)}{\cos (2 t)+2 \cos (4 t)}$, 在一个周期$\pi$内, 有4次发生符号跃迁, 即$4*(\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{2}) = 4*\pi$,相当于2圈.

mathe

我们要寻找的是公转的圈数，结果符合直觉是必然的。

mathe

另外比如地球自转的周期其实是略小于一天的，大概每圈比一天小1/365天

sheng_jianguo

wayne 发表于 2021-3-13 19:28
一个新的有意思的问题，对于抛物线，它的圈绕数 $k$肯定是$0

我认为，这类问题只要曲线图形清楚，一般不需要复杂计算就能得出自转圈数：
首先，确定起点的法向（有两个方向，可任取其中一个方向），然后沿着曲线走到终点，看清法线方向在这过程一共转了多少圈（不一定是整数），这圈数就是自转圈数。
比如：曲线y^2=2px，起点(+∞,+∞)，终点(+∞,-∞)，由于在起点（终点）处的导数dy/dx=0，起点法线方向平行于y轴，不妨设法线方向朝上，曲线走到终点，法线方向从朝上逐渐变到朝下（中间没有重复）,所以自转圈数=1/2。

sheng_jianguo

对于一个圆在一条曲线纯滚动（包括自转）问题，还有一种计算方法：
先确定圆心从起点到终点的曲线Q，然后计算（如用积分法）出Q的长度L，纯滚动圈数=L/(2πr)，其中r为圆的半径。
这种计算方法的好处是：不必考考虑圆的滚动方向是否与自转方向相同而产生的是相加还是相减的问题。