垂心的性质

creasson

目前你研究的平面几何，构型并不算难，解析法、复数法、质点法、向量法均可以做，体现不出优势来，因为是在有理多项式范围内，在表示上，其实也还有一定的局限。对于纯几何吧里的绝大多数问题，估计就做不动了。

dlsh

如图，D和E分别是AB和AC的中点，M和N分别平面内一线段AB和平面外CD的中点
\(由\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AB}}=\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}}=\frac{1}{2}导出\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}(\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}})有问题吗？\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}}的结果就是复数，\overrightarrow{AB}(\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}})就是向量与复数的乘积\)

dlsh

kastin说：可是压根就没有引入什么向量的东西。复数就是复数，向量就是向量，把复数和向量混合起来，就好比把英语和汉语混合起来，称为你新发明的某某语言，是不是很奇怪？  

节选自彭老师的书

什么叫混合起来？汉语用过哪些英语语法结构？你知道吗？向量乘以复数叫混合吗？
上图节选自张景中弟子彭翕成中学课外读本《向量、复数与质点》，把上面的向量与复数的积进一步扩充，即可定义向量商概念。
\(假设\overrightarrow{OP}e^{i\theta}=\overrightarrow{OQ }，显然可以导出\frac{\overrightarrow{OQ }}{\overrightarrow{OP}}=e^{i\theta}\)
请官科老师指导。
很困惑，连彭老师也不认可 。

彭翕成

dlsh 发表于 2021-7-2 21:59
kastin说：可是压根就没有引入什么向量的东西。复数就是复数，向量就是向量，把复数和向量混合起来，就好比 ...

你这个问题，creasson在30楼已经解释很清楚了。
我的水平给不出更好的解释。

向量复数确实很多地方相通。复数除法每本书上都有，但向量一般不写成除法形式。

我个人觉得无需纠结，写成除法时，就用复数形式。

我说了，我对你的印象主要是《坎坷之路》，向量商啥的，我水平低，也理解不了，见谅。

彭翕成

彭翕成 发表于 2021-7-4 09:20
你这个问题，creasson在30楼已经解释很清楚了。
我的水平给不出更好的解释。

以我所看资料，好像只有共线向量用除法的

creasson

关于复数的导数，你需要仔细看复变函数论。
对于复变函数$ f\left( z \right) = u\left(x,y \right) + iv\left( x,y \right)$
导数要存在，就必须使得下面的极限成立：
\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta z \to 0} \frac{{f\left( {z + \Delta z} \right) - f\left( z \right)}}{{\Delta z}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0} \frac{{u\left( {x + \Delta x,y + \Delta y} \right) - u\left( {x,y} \right) + i\left( {v\left( {x + \Delta x,y + \Delta y} \right) - v\left( {x,y} \right)} \right)}}{{\Delta x + i\Delta y}}\]
直接将$z$的实部，虚部，共轭代入即知，这个极限是不存在的，因此一般情形下，它们没有导数。
而常数的导数，恒等于0，这不应该有任何疑问。
更一般的，就是柯西黎曼条件：
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}} \\
\frac{{\partial v}}{{\partial x}} =  - \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \\
\end{array} \right.\]

在平面几何中，应用复数的导数其实是为了在复数形式下求切线，这跟上面的一般情况不同：
上面的导数定义，是未指定$\Delta x,\Delta y$的趋近方向的，而曲线的切线，则是指定了趋近方向的。
例如对于虚直线：$Re\left( z \right) = 0 $，限制条件是$x = 0$, 限定的方向是$\Delta x = 0$, 如此则可以给出虚直线的共轭导数
\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta z \to 0} \frac{{\Delta \mathop z\limits^\_ }}{{\Delta z}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x = 0,\Delta y \to 0} \frac{{\Delta x - i\Delta y}}{{\Delta x + i\Delta y}} =  - 1\]
同理，对于圆：\[ z \mathop z \limits^\_ = 1 \], 限制条件是$x^2 + y^2 = 1$, 限定的方向是$\frac{\Delta y}{\Delta x} =  - \frac{x}{y}$
\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta z \to 0} \frac{{\Delta \mathop z\limits^\_ }}{{\Delta z}} = \mathop {\lim }\limits_{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \to  - \frac{x}{y}} \frac{{\Delta x - i\Delta y}}{{\Delta x + i\Delta y}} = \frac{{y + ix}}{{y - ix}} =  - \frac{{\mathop z\limits^\_ }}{z}\]
也就是说，这个共轭导数是在限定条件下的，跟曲线的形状有关。

当然，每次都这么按照定义来很麻烦，如果利用曲线的参数形式，计算就简单多了：
若$ z = u\left( t \right) + iv\left( t \right) $, 则
\[\begin{array}{l}
\frac{{dz}}{{dt}} = \frac{{du}}{{dt}} + i\frac{{dv}}{{dt}} \\
\frac{{d\mathop z\limits^\_ }}{{dt}} = \frac{{du}}{{dt}} - i\frac{{dv}}{{dt}} \\
\end{array}\]
这也可以用于计算曲线的切线方向。

dlsh

谢谢老师抽出宝贵时间指导。
基础不够，看复变函数论很难。
根据老师上面的答复，对于直线方程\(z=\bar z，圆方程z\bar z=1不能直接套用实数函数求导法则,一个问题是函数的切线斜率不存在，而复斜率存在，而复斜率是存在，用k表示斜率，\overrightarrow k复斜率，显然\overrightarrow k=\frac{1+ki}{1-ki}，按照这个公式常数的复斜率等于1，因为常数的导数等于0\)

dlsh

谢谢老师抽出宝贵时间指导。
基础不够，看复变函数论很难。
根据老师上面的答复，对于直线方程\(z=\bar z，圆方程z\bar z=1不能直接套用实数函数求导法则,一个问题是函数的切线斜率不存在，而复斜率存在。
\)
\(用k表示斜率，\overrightarrow k复斜率，显然\overrightarrow k=\frac{1+ki}{1-ki}，按照这个公式常数的复斜率等于1，因为常数的导数等于0\)

\(主贴中,\frac{\overrightarrow {AH}}{{\overrightarrow {BC}}}=\frac{\overrightarrow {B'C}}{{\overrightarrow {BC}}}=tgAi，可以用tgA+tgB+tgC =tgAtgBtgC验证 \)

creasson

需要谨慎使用新名词，不然都很难理解你的意思，无法沟通。
将$ \frac{d \overline{z} }{dz} $ 称为复斜率及用于切线计算也并不适当，
其实, 若复平面上的曲线有参数形式：$ z = u\left( t \right) + iv\left( t \right) $， 则切向量为$ \frac{dz}{dt } = \frac{du}{dt} + i\frac{dv}{dt} $,
如此就行了，这也是一般切向量的计算方式。如果取$t=x$，也就是$ \frac{dz}{dx} = 1 + i\frac{dy}{dx} $。
回到你的问题：
对于单位圆方程：$ z \overline{z} = 1 $
两端对$z$求导(注：这里只是形式求导，因为$\frac{d \overline{z} }{dz}$ 在一般情况下并不存在！)
左边 = $ z\frac{d \overline{z} }{dz} + \overline{z} $ ， 右边 = 0
也是得到$ \frac{ d \overline{z} }{dz} =  - \frac{\overline{z}}{z}$，不存在你说的问题。

你给的图，用角度表示，如下：
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {BA}\limits^ \to   = \frac{{\sin C}}{{\sin A}}{e^{iB}}\mathop {BC}\limits^ \to   \\
\mathop {BO}\limits^ \to   = \frac{1}{2}\left( {1 + i\cot A} \right)\mathop {BC}\limits^ \to   \\
\mathop {BH}\limits^ \to   =  - i\frac{{\cos B}}{{\sin A}}{e^{i\left( {A + B} \right)}}\mathop {BC}\limits^ \to   \\
\mathop {BB'}\limits^ \to   = \left( {1 + i\cot A} \right)\mathop {BC}\limits^ \to   \\
\end{array} \right.\]
计算为\[\frac{{\mathop {AH}\limits^ \to  }}{{\mathop {BC}\limits^ \to  }} = \frac{{\mathop {B'C}\limits^ \to  }}{{\mathop {BC}\limits^ \to  }} =  - i\cot A\]

dlsh

谢谢老师耐心答复。
抱歉复斜率没有讲清楚，文献中的复斜率与我提出的共轭比概念相同，共轭导数的几何意义等于曲线的复斜率，根据共轭导数的定义，假设函数y=f(x)变换成复函数\(z=g(\bar z)\)后，\(z'=\frac{1+y'i}{1-y'i}，\)显然y'不存在时，z'=-1，这时候曲线的切线平行于虚轴，
复数在平面几何学中的应用.pdf (509.53 KB, 下载次数: 5)

2021-7-8 22:23 上传

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复斜率

向量商概念描述一些几何结论很简洁，主贴是典型实例，另外我前面有笔误，应该是 向量BC除以向量AH，写倒了。
老师的书什么时候可以出版？