把一個正方形分成多個小正方形

hujunhua

可表为6个不同平方数之和的次小平方数是196：
`1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+11^2=14^2`
这个只需要7刀。

mathe

TSC999

楼主的问题类似 “最小完美正方形” 问题。在吴振奎 1996 年出版的《数学中的美》第 127 页至 131 页中谈到了这个问题的历史和现状。

最小的完美正方形边长为 112，叫做 21 阶完美正方形，因它由 21 个大小不等的较小正方形拼接而成。这 21 个小正方形的边长是

2、4、6、7、8、9、11、15、16、17、18、19、24、25、27、29、33、35、37、42、50。

小于21阶的完美正方形已被证明不存在。这个结果是 1978 年由荷兰特温特技术大学的 Duijvestijn 用计算机获得的。
关于完美正方形问题的历史大致是： 1930 年，前苏联数学家鲁金曾认为这种正方形不存在。但是 1939 年有人构造了一个 55 阶的完美正方形，几个月后，剑桥大学三一学院的四个学生构造了一个 28 阶的完美正方形。
1948 年有人构造出了 24 阶的完美正方形，这个纪录一直保持到 1978 年。在 1948 至 1978 这三十年间，人们构造出了 2000 多个形形色色的 24 阶完美正方形和 25 阶、26 阶的完美正方形。
除了完美正方形以外，还有所谓完美矩形、完美三角形。把矩形分割成大小不同的正方形问题称为完美矩形问题。1940 年有人证明了，完美矩形最低阶数为 9，且它仅有两种。可以证明更高阶数的完美矩形有无穷多种。

下面就是 21 阶完美正方形（图中的数字表示所在小正方形的边长）：

hujunhua

hujunhua 发表于 2021-9-29 09:26
可表为6个不同平方数之和的次小平方数是196：
`1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+11^2=14^2`
这个只需要7刀。

次小的196还有以下两种表为6个不同平方数之和的解：
`1^2+2^2+5^2+6^2+7^2+9^2=14^2\\1^2+3^2+4^2+5^2+8^2+9^2=14^2`
不过我也没有找到 7刀的分割办法，8刀是要的。

ejsoon

hujunhua 发表于 2021-9-30 11:41
次小的196还有以下两种表为6个不同平方数之和的解：
`1^2+2^2+5^2+6^2+7^2+9^2=14^2\\1^2+3^2+4^2+5^2+8 ...

請問這種平方數之和，你是怎麼找到的？

mathe

比如12#的图有四条横线，三条纵线，每条我们可以延长直到达到正方形边界，将正方形划分为20个矩形。
于是我们可以尝试用计算机求解对于某一种划分得到的20个矩形，是否存在一种组合方案，将这20个矩形拼凑成6个小正方形。
计算机可以事先判断20个矩形的面积是否可以划分组成6个小正方形，然后在此前提下尝试对于给定的一批小矩形，把它们摆放到小正方形中，正好填满的方案。不知道这种方案如何才能比较有效的让计算机执行，就可以省去了人工试探的烦恼，也可以帮忙验证是否存在只需要6次裁剪的方案。

mathe

13x13的一种划分方案，看看是否搜索的正确:

a:1 1 2 2 7
b:1 3 3 6
1*1=+1*1;
A
2*2=+1*2+1*2;
BB
AA
3*3=+1*3+1*3+1*3;
CCC
BBB
AAA
5*5=+1*1+2*3+2*3+2*3+2*3;
EEECC
EEECC
BBACC
BBDDD
BBDDD
7*7=+1*7+6*7;
BBBBBBB
BBBBBBB
BBBBBBB
BBBBBBB
BBBBBBB
BBBBBBB
AAAAAAA
9*9=+1*3+1*6+1*6+2*6+2*6+3*7+3*7;
GGGGGGGDD
GGGGGGGDD
GGGGGGGDD
BEEEEEEDD
BEEEEEEDD
BCCCCCCDD
BFFFFFFFA
BFFFFFFFA
BFFFFFFFA

这个方法可以用来验证是否的确不存在6刀的解。

mathe

$1^2+2^2+5^2+6^2+7^2+9^2=14^2$ 有6刀方案:
横向三刀分成1 2 4 7四份
纵向三刀分成1 2 5 6四份
1*1=+1*1;
A
2*2=+2*2;
AA
AA
5*5=+1*5+4*5;
BBBBB
BBBBB
BBBBB
BBBBB
AAAAA
6*6=+1*2+1*4+1*6+4*6;
DDDDDD
DDDDDD
DDDDDD
DDDDDD
CCCCCC
BBBBAA
7*7=+1*2+2*6+5*7;
CCCCCCC
CCCCCCC
CCCCCCC
CCCCCCC
CCCCCCC
BBBBBBA
BBBBBBA
9*9=+1*7+2*4+2*5+2*7+6*7;
EEEEEEECC
EEEEEEECC
EEEEEEECC
EEEEEEECC
EEEEEEECC
EEEEEEEBB
DDDDDDDBB
DDDDDDDBB
AAAAAAABB

hujunhua

mathe

Search: 1^2+4^2+6^2+8^2+10^2+12^2=19^2
a:1 4 6 8
b:1 4 6 8
1*1=+1*1;
A
4*4=+4*4;
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
6*6=+6*6;
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
8*8=+1*8+1*8+6*8;
CCCCCCCC
CCCCCCCC
CCCCCCCC
CCCCCCCC
CCCCCCCC
CCCCCCCC
BBBBBBBB
AAAAAAAA
10*10=+1*4+1*4+1*6+1*6+4*8+6*8;
FFFFFFFFDC
FFFFFFFFDC
FFFFFFFFDC
FFFFFFFFDC
FFFFFFFFDC
FFFFFFFFDC
EEEEEEEEBA
EEEEEEEEBA
EEEEEEEEBA
EEEEEEEEBA
12*12=+4*6+4*6+4*8+8*8;
DDDDDDDDBBBB
DDDDDDDDBBBB
DDDDDDDDBBBB
DDDDDDDDBBBB
DDDDDDDDBBBB
DDDDDDDDBBBB
DDDDDDDDAAAA
DDDDDDDDAAAA
CCCCCCCCAAAA
CCCCCCCCAAAA
CCCCCCCCAAAA
CCCCCCCCAAAA