绳圈面积最大问题

jiaon · 发表于 2009-10-25 15:54:56

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已知一个确定的任意三角形ABC，把一条长度为l的细绳围成一个圈，放进三角形里，求此绳圈能围成的最大面积。
当l>=三角形周长时，围成的最大面积肯定是三角形的面积.
当l<=三角形内切圆周长时，围成的最大面积是三角形内切圆的面积。
当在二者之间时，就不知道是个什么状态了。请各位高手指点。

wayne · 发表于 2009-10-25 17:52:45

l<=三角形内切圆周长时,围成的最大面积是三角形内切圆的面积。

应该是$l^2/{4*pi}$吧

geslon · 发表于 2009-10-25 20:25:38

当l<=三角形内切圆周长时，围成的最大面积是三角形内切圆的面积。

本文转自：数学研发论坛(bbs.emath.ac.cn)

是啊，楼上补充的很对。这句话显然有问题。等于的时候才是内切圆面积，小于的时候怎么可能呢？

geslon · 发表于 2009-10-25 20:38:28

最终图形用语言描述应该是三面贴墙，另外有三段圆弧，而且圆弧的半径相等，三段弧恰好凑成整圆。

jiaon · 发表于 2009-10-25 20:39:05

对对楼上更正的对。

数学星空 · 发表于 2009-10-25 21:12:33

本帖最后由数学星空于 2009-10-26 07:54 编辑

设已知三角形三边长为a,b,c,对应三个角为A,B,C,面积为S,给定绳圈长L,能围成的最大面积为s则
$s=S+1/2*r^2*(2*pi-({csc(A/2)}^2*sinA+{csc(B/2)}^2*sinB+{csc(C/2)}^2*sinC))$
         其中:$r=1/2*{L-(a+b+c)}/{pi-(ctg(A/2)+ctg(B/2)+ctg(C/2)}$
         显然,当L=a+b+c时,r=0,s=S(即L刚好围成三角形ABC)
                  当$r=L/{2*pi}={a+b+c}/{2*(ctg(A/2)+ctg(B/2)+ctg(C/2))}$时,(即L刚
               好围成内切圆)$s=L^2/{4*pi}$

〇〇 · 发表于 2009-10-25 21:41:49

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jiaon · 发表于 2009-10-25 22:29:48

$s=S+1/2*r^2*(2*pi-({sec(A/2)}^2*sinA+{sec(B/2)}^2*sinB+{sec(C/2)}^2*sinC))$

sec不爽，化简一下
$s=S+r^2*(pi-tan(A/2)-tan(B/2)-tan(C/2))$
顺便问下，这个式子怎么列出来的？

geslon · 发表于 2009-10-26 07:30:14

楼上化简成tan? 似乎是ctg?

gxqcn · 发表于 2009-10-26 07:34:50

把三角形蘸在肥皂泡里，取出后中间无泡区是面积一定但周长最短的，
以上是我想象的，不知道正确否，
如果成立，可以想象一个逐渐增大的收缩孔的边界形状即为所求。

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