绳圈面积最大问题

数学星空

4#已经说明了,你画图好好想想就明白了....
至于${csc(A/2)}^2*sinA=2*ctg(A/2)$ 这个是对的(6#编辑有误,已改正)

zgg___

想象在三角形的框子中，放一个绳圈，绳圈的各处有向外扩张的趋势，这种趋势来自于从圈内向外的压力，设系统无摩擦，当绳圈处于最大面积时，即平衡状态时，将满足：1、挨着框的地方紧贴着；2、不挨着框的地方曲率都相等，因为沿绳的应力相等，圈内向外的压强相等；3、挨着框和不挨着框交接的地方是相切的。
所以，绳圈形成的形状由三条可以拼成一个圆的弧线和三条线段组成。

数学星空

呵,楼上的对物理理解的很透彻嘛,若将一个长为L的绳圈,放在一个已知四边形内(若有内切圆,可以容易解决,我们现主要针对不存在内切圆的),其绳圈在四边形内能围成的最大面积又是多少呢?

mathe

最终图形用语言描述应该是三面贴墙，另外有三段圆弧，而且圆弧的半径相等，三段弧恰好凑成整圆。
geslon 发表于 2009-10-25 20:38

三段圆弧半径必然相等吗？

wayne

同mathe的质疑

wayne

如果理解成肥皂泡表面向外侵略空间，每个角处的圆弧与两边相切的话，
那么每个角处的角平分线经过对应的圆弧的圆心。

受力分析就是 六个力
三个汇聚于三角形内心的力，
三个汇聚于三角形垂心的力。

要在一般三角形的情况下平衡，就必须是三个汇聚于三角形内心的力平衡，三个汇聚于三角形垂心的力也平衡

jiaon

数学问题转变成物理问题了，强。
再一次验证了那句话：数学物理不分家。

056254628

设3段圆弧的半径分别是 $r_a$,$r_b$,$r_c$
当a+b+c>L时：
那么$r_a(2ctg(A/2)+A-Pi)+r_b(2ctg(B/2)+B-Pi)+r_c(2ctg(C/2)+C-Pi)=a+b+c-L$
原题相当于求：s=$1/2*r_a^2*(2ctg(A/2)+A-Pi)+1/2*r_b^2*(2ctg(B/2)+B-Pi)+1/2*r_c^2*(2ctg(C/2)+C-Pi)$   的最小值。
s等于三角形面积减去线圈围成的面积。
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相当于已知 $k*x+m*y+n*z=d$   ， 其中 k、m、n、d都是正常数。
   求  $k*x^2+m*y^2+n*z^2$ 的最小值

056254628

续上：
   当$x:y:z=1/k:1/m:1/n$的时候，最小值取得。
对于楼主这题
当$r_a:r_b:r_c$=$1/(2ctg(A/2)+A-Pi)$:$1/(2ctg(B/2)+B-Pi)$:$1/(2ctg(C/2)+C-Pi)$时
线圈围成的面积最大。而不是它们相等时面积最大。
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以上求最小值时出现错误，20#是正确的。

wayne

19# 056254628
不过,你的结论:
已知$ k x + m y + n z = d$,那么$k x^2 + m y^2 + n z^2$的最小值
应该是在x=y=z处取得的.