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楼主: jiaon

[提问] 绳圈面积最大问题

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发表于 2009-10-26 07:45:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 数学星空 于 2009-10-26 08:43 编辑 4#已经说明了,你画图好好想想就明白了.... 至于${csc(A/2)}^2*sinA=2*ctg(A/2)$ 这个是对的(6#编辑有误,已改正)
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发表于 2009-10-26 12:16:05 | 显示全部楼层
想象在三角形的框子中,放一个绳圈,绳圈的各处有向外扩张的趋势,这种趋势来自于从圈内向外的压力,设系统无摩擦,当绳圈处于最大面积时,即平衡状态时,将满足:1、挨着框的地方紧贴着;2、不挨着框的地方曲率都相等,因为沿绳的应力相等,圈内向外的压强相等;3、挨着框和不挨着框交接的地方是相切的。 所以,绳圈形成的形状由三条可以拼成一个圆的弧线和三条线段组成。
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发表于 2009-10-26 14:56:46 | 显示全部楼层
呵,楼上的对物理理解的很透彻嘛,若将一个长为L的绳圈,放在一个已知四边形内(若有内切圆,可以容易解决,我们现主要针对不存在内切圆的),其绳圈在四边形内能围成的最大面积又是多少呢?
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发表于 2009-10-26 16:34:13 | 显示全部楼层
最终图形用语言描述应该是三面贴墙,另外有三段圆弧,而且圆弧的半径相等,三段弧恰好凑成整圆。 geslon 发表于 2009-10-25 20:38
三段圆弧半径必然相等吗?
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发表于 2009-10-26 17:15:03 | 显示全部楼层
同mathe的质疑
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发表于 2009-10-26 17:23:52 | 显示全部楼层
如果理解成肥皂泡表面向外侵略空间,每个角处的圆弧与两边相切的话, 那么每个角处的角平分线经过对应的圆弧的圆心。 受力分析就是 六个力 三个汇聚于三角形内心的力, 三个汇聚于三角形垂心的力。 要在一般三角形的情况下平衡,就必须是三个汇聚于三角形内心的力平衡,三个汇聚于三角形垂心的力也平衡
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 楼主| 发表于 2009-10-26 17:52:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 jiaon 于 2009-10-26 18:03 编辑 数学问题转变成物理问题了,强。 再一次验证了那句话:数学物理不分家。
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发表于 2009-10-26 21:13:55 | 显示全部楼层
设3段圆弧的半径分别是 $r_a$,$r_b$,$r_c$ 当a+b+c>L时: 那么$r_a(2ctg(A/2)+A-Pi)+r_b(2ctg(B/2)+B-Pi)+r_c(2ctg(C/2)+C-Pi)=a+b+c-L$ 原题相当于求:s=$1/2*r_a^2*(2ctg(A/2)+A-Pi)+1/2*r_b^2*(2ctg(B/2)+B-Pi)+1/2*r_c^2*(2ctg(C/2)+C-Pi)$ 的最小值。 s等于三角形面积减去线圈围成的面积。 ---------------------------------------------------- 相当于已知 $k*x+m*y+n*z=d$ , 其中 k、m、n、d都是正常数。 求 $k*x^2+m*y^2+n*z^2$ 的最小值

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wayne + 2 漂亮!!! 充分利用了切线和角平分线的条件

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发表于 2009-10-26 21:33:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 056254628 于 2009-10-26 23:09 编辑 续上: 当$x:y:z=1/k:1/m:1/n$的时候,最小值取得。 对于楼主这题 当$r_a:r_b:r_c$=$1/(2ctg(A/2)+A-Pi)$:$1/(2ctg(B/2)+B-Pi)$:$1/(2ctg(C/2)+C-Pi)$时 线圈围成的面积最大。而不是它们相等时面积最大。 ----------------------------------------------------------- 以上求最小值时出现错误,20#是正确的。
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发表于 2009-10-26 21:53:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 wayne 于 2009-10-26 22:04 编辑 19# 056254628 不过,你的结论: 已知$ k x + m y + n z = d$,那么$k x^2 + m y^2 + n z^2$的最小值 应该是在x=y=z处取得的.
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