黄金分割：黄金点♥黄金线♥广义黄金线

王守恩

已知   \(\tan(4x)=4/3\)      则  \(\tan(45°-x)=(\sqrt{5}-1)/2\)

陈九章

王守恩

ejsoon 发表于 2023-4-20 14:16
我只用計算器驗證過，不知來源及證明。

胆怯的问：这漂亮的等式是怎么来的？谢谢！
\(\arctan\big(\frac{1}{1}\big)=\arctan\big(\frac{1}{2}\big)+\arctan\big(\frac{1}{3}\big)\)
\(\arctan\big(\frac{1}{3}\big)=\arctan\big(\frac{1}{5}\big)+\arctan\big(\frac{1}{8}\big)\)
\(\arctan\big(\frac{1}{8}\big)=\arctan\big(\frac{1}{13}\big)+\arctan\big(\frac{1}{21}\big)\)
\(\arctan\big(\frac{1}{21}\big)=\arctan\big(\frac{1}{34}\big)+\arctan\big(\frac{1}{55}\big)\)
\(\arctan\big(\frac{1}{55}\big)=\arctan\big(\frac{1}{89}\big)+\arctan\big(\frac{1}{144}\big)\)

谢谢 northwolves！ 下面是与上面相关的一道题:
\(arccot{(n)}=arccot(a)+arccot(b),\ \ \ n=0,1,2,3,4,5,6...\)   a,b=正整数。
\(a(0)=1: arccot{(0)}=arccot{(1)}+arccot{(1)}\)
\(a(1)=1: arccot{(1)}=arccot{(2)}+arccot{(3)}\)
\(a(2)=1: arccot{(2)}=arccot{(3)}+arccot{(7)}\)
\(a(3)=2: arccot{(3)}=arccot{(4)}+arccot{(13)}=arccot{(5)}+arccot{(8)}\)
\(a(4)=1: arccot{(4)}=arccot{(5)}+arccot{(21)}\)
\(a(5)=2: arccot{(5)}=arccot{(6)}+arccot{(31)}=arccot{(7)}+arccot{(18)}\)
\(a(6)=1: arccot{(6)}=arccot{(7)}+arccot{(43)}\)
\(a(7)=3: arccot{(7)}=arccot{(8)}+arccot{(57)}=arccot{(9)}+arccot{(32)}=arccot{(12)}+arccot{(17)}\)
\(a(8)=2: arccot{(8)}=arccot{(9)}+arccot{(73)}=arccot{(13)}+arccot{(21)}\)
......
得到这样一串数:
{1,1,1,2,1,2,1,3,2,2,1,2,2,4,1,2,1,4,3,2,1,4,2,4,1,2,1,4,2,2,2,4,3,4,2,2,1,4,3,2,1,3,2,6,2,2,2,8,2,2,
2,2,2,4,1,4,1,8,2,2,2,2,2,4,2,2,1,4,4,2,3,2,4,8,1,4,2,4,2,2,2,4,3,8,1,2,2,4,2,4,1,4,2,6,1,2,2,4,4,6}

1. Table[Length@Solve[a*b==1+n*(a+b)&&a>=b>n,{a,b},Integers],{n,0,99}]

复制代码

这通项公式是northwolves 给出的。
我就纳闷：怎么会这么简单！！！慢慢琢磨。还是谢谢 northwolves！

灵树

\[x^{2}+x-1=0 \\x-\sqrt{1-x}=0\]
黄金分割数满足的这两方程。

陈九章

陈九章

袁亚湘院士说，黄金分割法给我们的启示如下：
美好的东西常常是有用的，有用的东西通常是优美的，
解决问题很重要，能用好的方法去解决问题更重要。

陈九章

hujunhua

@陈九章

最多研究一下极坐标曲线\[
ρ^2-(1+2\cosθ)ρ+1=0
\]就好，这条曲线本身有点趣味，却被后面的推广给冲得了了淡淡。

无聊的推广，浩浩荡荡，激起我泄洪的欲望。

nyy

hujunhua 发表于 2023-9-5 09:38
@陈九章

最多研究一下极坐标曲线\[

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. eq=p^2-(1+2Cos[x])*p+1==0
   
3. aa=p/.Solve[eq,{p}]//Simplify
   
4. PolarPlot[aa,{x,0,7}]
   

复制代码

图就不传了，给gxqcn省点空间。

陈九章