有几种走法？

王守恩

在实战中掌握方法。这些数字串会有规律吗？
1,允许中途经过O。
正4边形,  共有05个点,08条路,......

正4边形,  共有09个点,16条路,......

正4边形,  共有13个点,24条路,......

正4边形,  共有17个点,32条路,......

正4边形,  共有21个点,40条路,......
......  ......
2, 不允许中途经过O。
正4边形,  共有05个点,08条路,......

正4边形,  共有09个点,16条路,......

正4边形,  共有13个点,24条路,......

正4边形,  共有17个点,32条路,......

正4边形,  共有21个点,40条路,......
......  ......

aimisiyou

王守恩 发表于 2023-12-30 17:16
先把目前的成果晒一晒。渴望有网友找出反例来。
1,允许中途经过O。
正3边形,  共有07个点,12条路,......

状态转移方程很好列出来啊。

王守恩

恭喜2024年！
正2024边形,  共有4049个点,8096条路,......
从O出发又回到O,走了2条路, 有2024种走法。
从O出发又回到O,走了3条路, 有4048种走法。
从O出发又回到O,走了4条路, 有4106696种走法。
......
从O出发又回到O,走了9条路, 有几种走法？

aimisiyou

王守恩 发表于 2023-12-31 07:06
恭喜2024年！
正2024边形,  共有4049个点,8096条路,......
从O出发又回到O,走了2条路, 有2024种走法。

你的行为让我想起了罗素的名言……

王守恩

aimisiyou 发表于 2023-12-30 15:41
掌握了方法就没必要一个接一个刷题了。

4, 8, 36, 120, 456, 1680, 6336, 23904, 90720, 345024, 1315008, 5018112, 19166976, 73253376, 280081152,
1071180288, 4097558016, 15676333056, 59979460608, 229502232576, 878191331328, 3360497061888,
12859561119744, 49210115162112, 188315655487488, 720644473257984, 2757766258114560, ......
这串数可有通项公式？

aimisiyou

王守恩 发表于 2023-12-31 16:27
4, 8, 36, 120, 456, 1680, 6336, 23904, 90720, 345024, 1315008, 5018112, 19166976, 73253376, 2800811 ...

重要的是方法，而不是结果。此类求通项公式的题目你可以提成千上万个，意义不大。

northwolves

王守恩 发表于 2023-12-31 16:27
4, 8, 36, 120, 456, 1680, 6336, 23904, 90720, 345024, 1315008, 5018112, 19166976, 73253376, 2800811 ...

1. a[n_]:=1/(66*2^n) ((11 Sqrt[3]-3 Sqrt[99-44 Sqrt[3]]) (3+Sqrt[3]-Sqrt[12-2 Sqrt[3]])^n-(11 Sqrt[3]-3 Sqrt[99+44 Sqrt[3]])(3-Sqrt[3]+Sqrt[12+2Sqrt[3]])^n+(11 Sqrt[3]+3 Sqrt[99-44 Sqrt[3]]) (3+Sqrt[3]+Sqrt[12-2 Sqrt[3]])^n -(11 Sqrt[3]+3 Sqrt[99+44 Sqrt[3]])(3-Sqrt[3]-Sqrt[12+2Sqrt[3]]) ^n);Table[a[n],{n,50}]//FullSimplify

复制代码

{4,8,36,120,456,1680,6336,23904,90720,345024,1315008,5018112,19166976,73253376,280081152,1071180288,4097558016,15676333056,59979460608,229502232576,878191331328,3360497061888,12859561119744,49210115162112,188315655487488,720644473257984,2757766258114560,10553464225234944,40386241989476352,154551205167169536,591441403460714496,2263347856590372864,8661459160645632000,33145985444809015296,126844280267424399360,485412433287029194752,1857594602707668172800,7108713478652449259520,27203895419433428975616,104104905611638210560000,398392634641891316465664,1524584190892146878840832,5834337215195075995238400,22327065397454537427517440,85442070418553701845172224,326972993834959837109157888,1251272802311323274396565504,4788418790604990650712588288,18324504848765130634728308736,70124918647244478656645431296}

northwolves

$a_n=\frac{\left(11 \sqrt{3}-3 \sqrt{99-44 \sqrt{3}}\right)
   \left(3+\sqrt{3}-\sqrt{12-2 \sqrt{3}}\right)^n+\left(11 \sqrt{3}+3 \sqrt{99-44
   \sqrt{3}}\right) \left(3+\sqrt{3}+\sqrt{12-2 \sqrt{3}}\right)^n-\left(11 \sqrt{3}-3
   \sqrt{99+44 \sqrt{3}}\right) \left(3-\sqrt{3}+\sqrt{12+2 \sqrt{3}}\right)^n-\left(11
   \sqrt{3}+3 \sqrt{99+44 \sqrt{3}}\right) \left(3-\sqrt{3}-\sqrt{12+2
   \sqrt{3}}\right)^n}{66* 2^{n}}$

王守恩

楼上的通项公式太恐怖了, 看来要搞个类似彩珠手串配色计数的类似"通吃"公式是不可能的。

m种颜色, n颗珠穿成的环, 有S(m,n)种穿法。详见《[讨论] 彩珠手串的配色计数》。

\(\D S(m,n)=\sum_{k = 1}^{n}\frac{m^{GCD(n, k)}}{2  n}+\frac{m^{\lceil n/2\rceil} + m^{\lceil(n + 1)/2\rceil}}{4}\)

王守恩

northwolves 发表于 2024-1-1 00:27
$a_n=\frac{\left(11 \sqrt{3}-3 \sqrt{99-44 \sqrt{3}}\right)
   \left(3+\sqrt{3}-\sqrt{12-2 \sqrt{3}} ...

\(\D a(n)=\bigg[\frac{(\sqrt{33}+3\sqrt{9-4\sqrt{3}\ \ })(3+\sqrt{3}+\sqrt{12-2\sqrt{3}\ \ })^n-(\sqrt{33}-3\sqrt{9+4\sqrt{3}\ \ })(3-\sqrt{3}+\sqrt{12+2\sqrt{3}\ \ })^n-(\sqrt{33}+3\sqrt{9+4\sqrt{3}\ \ }) (3-\sqrt{3}-\sqrt{12+2\sqrt{3}\ \ })^n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{6\sqrt{11}*2^n}\bigg]\)

Round[((Sqrt[33]+3Sqrt[9-4Sqrt[3]])(3+Sqrt[3]+Sqrt[12-2Sqrt[3]])^n-(Sqrt[33]-3Sqrt[9+4Sqrt[3]])(3-Sqrt[3]+Sqrt[12+2Sqrt[3]])^n-(Sqrt[33]+3Sqrt[9+4Sqrt[3]])(3-Sqrt[3]-Sqrt[12+2Sqrt[3]])^n)/(6Sqrt[11]*2^n)]