有几种走法？

aimisiyou

northwolves 发表于 2024-1-1 00:27
$a_n=\frac{\left(11 \sqrt{3}-3 \sqrt{99-44 \sqrt{3}}\right)
   \left(3+\sqrt{3}-\sqrt{12-2 \sqrt{3}} ...

根据递推式计算出来的吗？

王守恩

楼上的通项公式太恐怖了, 要搞"通吃"公式只能调整题目。
正m边形, 走了n条路, 有S(m,n)种走法。譬如：
正4边形,从O出发又回到O(允许中途经过O),环形路不限制。
走了2条路, 有4种走法。
走了3条路, 有8种走法。
走了4条路, 有36种走法。
走了5条路, 有120种走法。
走了6条路, 有456种走法。
走了7条路, 有1680种走法。
走了8条路, 有6336种走法。
走了9条路, 有23904种走法。
......
正4边形, 走了n条路, 有a(4,n)种走法。
再譬如：恭喜2024年！
正2024边形,题目就不一样了。
从O出发又回到O,走了2条路, 有2024种走法。
从O出发又回到O,走了3条路, 有4048种走法。
从O出发又回到O,走了4条路, 有4106696种走法。
......
从O出发又回到O,走了9条路, 有几种走法？

王守恩

正4边形,从O出发又回到O(允许中途经过O),环形路不限制。
走了2条路, 有4种走法。
走了3条路, 有8种走法。
走了4条路, 有36种走法。
走了5条路, 有120种走法。
走了6条路, 有456种走法。
走了7条路, 有1680种走法。
走了8条路, 有6340种走法。
....
这串数(与7#,19#不同), 可以有吗？谢谢！

王守恩

m种颜色, n颗珠穿成的环, 有S(m,n)种穿法。详见《[讨论] 彩珠手串的配色计数》。
要搞个类似彩珠手串配色计数的类似"通吃"公式。
m边形, n条路, 有S(m,n)种走法。
环形路不限制,也就是取S(m,n)的最大值。
S(m,n)的最大值是肯定有的，可惜还没有找到"方法"。
7#3串数是同一模式:0,1,4,17,64,...  1,2,9,30,113,...  4,8,36,120,452,...
19#4串数是同一模式:0,0,1,6,30,...  0,1,4,18,72,...  1,2,9,30,114,...  4,8,36,120,456,...
闹着玩的。祝大家新年快乐！生活是不可能压垮我们的。

王守恩

闹着玩的。祝大家新年快乐！生活是不可能压垮我们的。
正4边形,从O出发又回到O(允许中途经过O),环形路不限制。
走了2条路, 有4种走法。
走了3条路, 有8种走法。
走了4条路, 有36种走法。
走了5条路, 有120种走法。
走了6条路, 有456种走法。
走了7条路, 有1680种走法。
走了8条路, 有6340种走法。
....
得到这样一串数:4,8,36,120,456,1680,6340,23960,91224,348656,1337896,5149872,19877904,76907808,298176516,1158168792,4505865144,17555689008,68490100536,267518448912,...
谢谢 aimisiyou！这些数据是根据7#,19#推出来的。谢谢 aimisiyou！
每环取2个数。

1. LinearRecurrence[{4, 1, -8}, {4, 8, 36}, 26]
   
2. LinearRecurrence[{6, -6, -12, 12}, {4, 8, 36, 120}, 26]
   
3. LinearRecurrence[{8, -17, -4, 35, -16}, {4, 8, 36, 120, 456}, 26]

复制代码

1. LinearRecurrence[{18, -132, 496, -945, 546, 1144, -2376, 1683, -470, 36}, {4, 8, 36, 120, 456, 1680, 6340, 23960, 91224, 348656}, 26]

复制代码

王守恩

一串数:4,8,36,120,456,1680,6340,23960,91224,348656,1337896,5149872,19877904,76907808,298176516,1158168792,4505865144,17555689008,68490100536,267518448912,...
换串数:1,2,9,30,114,420,1585,5990,22806,87164,334474,1287468,4969476,19226952,74544129,289542198,1126466286,4388922252,17122525134,66879612228,261510344316, ......
换种说法。每环完成5个数: 2个数是任务，3个数作铺垫。
第1环: 1,2,8,24,80,
第2环: 9(8+1),30(24+6),113(80+33),410,1513,
第3环: 114(113+1),420(410+10),1584(1513+71),5976,22680,
第4环: 1585(1584+1),5990(5976+14),22805(22680+125),87146,334278,
第5环: 22806(22805+1),87164(87146+18),334473(334278+195),1287446,4969194,
第6环: 334474(334473+1),1287468(1287446+22),4969475(4969194+281),19226926,74543745,
第7环: 4969476(4969475+1),19226952(19226926+26),74544128(74543745+383),289542168,1126465784,
第8环: 74544129(74544128+1),289542198(289542168+30),1126466285(1126465784+501),4388922218,17122524498,,
第9环: 1126466286(1126466285+1),4388922252(4388922218+34),17122525133(17122524498+635),66879612190,261510343530,
......

王守恩

目标很明确: 把"通吃"公式揪出来。
正m边形, 走了n条路, 有S(m,n)种走法。
S(3,n)=  1, 2, 8, 26, 93, 330, 1194, 4352, 15998, 59180, 220138, 822718, 3087325, 11626986, 43926498, 166422096, 632113134, 2406419484, 9180135960, 35087235348, 134339184354, 515168830308, 1978503013692,  
S(4,n)= 1, 2, 9, 30, 114, 420, 1585, 5990, 22806, 87164, 334474, 1287468, 4969476, 19226952, 74544129, 289542198, 1126466286, 4388922252, 17122525134, 66879612228, 261510344316, 1023557995512, 4009856619834,  
S(5,n)= 1, 2, 10, 34, 137, 522, 2054, 8040, 31722, 125356, 496956, 1973862, 7854905, 31305290, 124932670, 499150320, 1996293790, 7991014300, 32012556140, 128334199620, 514797408170, 2066211627140, 8297247965500,
S(6,n)= 1, 2, 11, 38, 162, 636, 2607, 10550, 43118, 176084, 721294, 2957308, 12142276, 49899192, 205243479, 844786998, 3479312886, 14337289572, 59107095114, 243772689108, 1005732285276, 4150624333512, 17134158931686,
基本思路
1环可以确定S(m,2),S(m,3);
2环可以确定S(m,4),S(m,5);
3环可以确定S(m,6),S(m,7);
4环可以确定S(m,8),S(m,9);
......
数据是我一个一个一个"逼"出来的。希望有网友找出毛病来。谢谢！
虽然有这些数据, 但"通吃"公式还是没有。希望得到网友的神助。谢谢！

northwolves

S(4,n)= 1, 2, 9, 30, 114, 420, 1585, 5990, 22806, 87164, 334474, 1287468, 4969476, 19226952, 74544129, 289542198, 1126466286, 4388922252, 17122525134, 66879612228, 261510344316, 1023557995512, 4009856619834
--------------------------------------------------------
$f(n)=\frac{2^{n-1} (2 n+3)\text{!!} \, _2F_1\left(1,n+\frac{5}{2};n+3;-3\right)}{(n+2)!}-\frac{2^{2 n+1} (-1)^n}{3^{n+2}}$

1. g[n_]:= (2^(n-1) (3+2 n)!!Hypergeometric2F1[1,5/2+n,3+n,-3])/(n+2)!-(2^(2n+1) (-1)^n)/3^(n+2);Table[ g[n],{n,15}]

复制代码

{1, 2, 9, 30, 114, 420, 1585, 5990, 22806, 87164, 334474, 1287468, 4969476, 19226952, 74544129}

northwolves

1. RecurrenceTable[{(3 n + 9) b[n + 2] == (8 n + 18) b[n + 1] + (16 n + 40) b[n], b[1] == 1, b[2] == 2}, b, {n, 20}]

复制代码

{1,2,9,30,114,420,1585,5990,22806,87164,334474,1287468,4969476,19226952,74544129,289542198,1126466286,4388922252,17122525134,66879612228}

王守恩

aimisiyou 发表于 2023-12-25 13:47
编程序计算下。

"通吃"公式不好揪。先放松放松。
正六边形每边3等分,  每对(计3对)平行边作5条(计15条)平行线(在正六边形内),
共得到37个点84条路段。从中心点O出发,又回到O(允许中途经过O),  
走了n(2,3,4,5,6,7,...)条路段,  有几种走法？