各位老师，怎么证明这个式子不等于零呢？

独坐看云起

已知p,q都是大于1的整数，证明：$p^8q^2+q^2+2p^4q^2-p^8-q^4-p^6-p^2q^4≠0$

Jack315

假设 \(p^8q^2+q^2+2p^4q^2-p^8-q^4-p^6-p^2q^4=0\)
即 \(-(p^2+1)q^4+(p^4+1)^2 q^2-(p^2+1)p^6=0\)
由此解得：\(q^2=\frac{(p^4+1)^2\pm\sqrt{(p^4+1)^4-4(p^2+1)^2}}{2(p^2+1)}\)
根据题意，根号中是两个不同的奇整数相乘，不是完全平方数，因而 \(q\) 不可能是整数。
说明假设不成立，命题得证。

mathe

上面方案并不能证明q不能是整数。
但是如果q是整数，那么必然$(p^4+1)^4-4(p^2+1)^2=(p-1)(p+1)(p^6+p^4+3p^2+1)(p^8+2p^4+2p^2+3)$是完全平方数
查看四个因式$f_1(p)=p-1,f_2(p)=p+1,f_3(p)=p^6+p^4+3p^2+1,f_4(p)=p^8+2p^4+2p^2+3$
由于$f_3(1)=f_3(-1)=6,f_4(1)=f_4(-1)=8$, $gcd(f_1(p),f_2(p))|2$
而$f_4(p)-(p^2-1)f_3(p)=4(p^2+1)$, 而$f_4(i)=4,f_3(i)=-2$
这些说明$f_3,f_4$的公因子只能是2的幂，而$f_1,f_2,f_3,f_4$两两之间公因子除了素因子2以外最多还有素因子3.
说明如果$(p^4+1)^4-4(p^2+1)^2=(p-1)(p+1)(p^6+p^4+3p^2+1)(p^8+2p^4+2p^2+3)$是完全平方数，那么$f_4(p)$必须是完全平方数或完全平方数的两倍，这个要求p必须是奇数，不能是偶数，不然$f_4(p)$模8为3，不可能是完全平方数或其两倍。
而p是奇数时计算可以得到$f_3(p)$模8为6。同样根据前面分析，$f_3(p)$只能是完全平方，或完全平方2,3,6倍。而再根据$f_3(p)$模8为6，得出它只能是完全平方数的6倍。
由于6是5的平方剩余，这个说明$f_3(p)$和$f_4(p)$都必须是5的平方剩余。
我们现在计算p关于5的不同余数时$f_3(p)$和$f_4(p)$关于5的剩余情况

p模5余数	f_3(p)模5余数	f_3(p)是否平方剩余	f_4(p)模5余数	f_4(p)是否平方剩余
0	1	是	3	否
1	1	是	3	否
2	3	否	4	是
3	3	否	4	是
4	1	是	3	否

综上所述，不存在p使得$f_3(p)$和$f_4(p)$同时是5的平方剩余，也就是方程没有整数解

northwolves

若$p=q$,原式=$q^2 \left(q^2-1\right)^2 \left(q^4+q^2+1\right)>0$

独坐看云起

mathe 发表于 2024-2-19 16:40
上面方案并不能证明q不能是整数。
但是如果q是整数，那么必然$(p^4+1)^4-4(p^2+1)^2=(p-1)(p+1)(p^6+p^4+3p ...

谢谢老师！老师真的好厉害！可以再向老师请教类似的问题吗？我把前面这个问题的指数变化后又该怎么证明这个式子不等于零呢？
p^16q^2+2p^8q^6+q^10-p^16-q^12-p^12-p^4q^12<>0

Jack315

接 2# 证明根号中的多项式不是完全平方数：
令 \(f(p)=(p^4+1)^4-4(p^2+1)^2\) 。
易见 \(f(p)<(p^4+1)^4=(p^8+2p^4+1)^2\)
而当 p 为大于 1 的整数时，\(f(p)-(p^8+2p^4)^2=2p^8-8p^2-3>0\) 。
即 \((p^8+2p^4)^2<f(p)<(p^8+2p^4+1)^2\)
这说明 \(f(p)\) 是介于两个相邻整数的完全平方数之间的一个整数，
因而 \(f(p)\)不可能是完全平方数。

独坐看云起

非常感谢老师！老师您的方法真的太好了!我还能向老师请教一个问题吗？又打扰老师了！

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-2 19:02
接 2# 证明根号中的多项式不是完全平方数：
令 \(f(p)=(p^4+1)^4-4(p^2+1)^2\) 。
易见 \(f(p)0\) 。

谢谢老师！老师这种方法是证明那个式子不是完全平方数的最好方法了！可是我原始问题如果化成q平方的一元二次方程的话，常数项里面还有p的六次方，又该怎么解决呢？衷心希望老师再费心帮忙吧！！

独坐看云起

独坐看云起 发表于 2024-3-2 19:12
非常感谢老师！老师您的方法真的太好了!我还能向老师请教一个问题吗？又打扰老师了！ ...

哦不好意思，是我设计问题的时候没注意，把j加进去了！题目里面应该没有j的。

Jack315

独坐看云起 发表于 2024-3-2 20:34
谢谢老师！老师这种方法是证明那个式子不是完全平方数的最好方法了！可是我原始问题如果化成q平方的一元 ...

\((p^8+2p^4-2p^2-3)^2<(p^4+1)^4-4p^6(p^2+1)^2<(p^8+2p^4-2p^2-2)^2\)