各位老师，怎么证明这个式子不等于零呢？

独坐看云起

mathe 发表于 2024-2-19 16:40
上面方案并不能证明q不能是整数。
但是如果q是整数，那么必然$(p^4+1)^4-4(p^2+1)^2=(p-1)(p+1)(p^6+p^4+3p ...

衷心感谢老师的耐心讲解！！能麻烦老师再帮我看看怎么证明这个式子不可能是一个整数的平方吗？谢谢老师1祝老师周末愉快！！万事如意！！

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-4 07:57
\(p, q\) 都是大于 1 的整数时，
\(p^8q^2+q^2+2p^4q^2-p^8-q^4-p^6-p^2q^40\ne0\)
这个命题已经严格证 ...

不好意思！给两位老师添麻烦了！我是在辅导初二年级学生数学兴趣班的时候，让他们利用Excel探究勾股数的过程中，学生们放飞自己的思维，想在一组勾股数的直角边里面再找三个数来组成一组勾股数，才这样引出了越来越多的问题！如果两位老师能最终证明那个式子不可能是平方数，还请两位老师帮忙赐教！我和我的学生衷心感谢两位老师了！！

独坐看云起

mathe 发表于 2024-2-19 16:40
上面方案并不能证明q不能是整数。
但是如果q是整数，那么必然$(p^4+1)^4-4(p^2+1)^2=(p-1)(p+1)(p^6+p^4+3p ...

不好意思！给老师添麻烦了！我是在辅导初二年级学生数学兴趣班的时候，让他们利用Excel探究勾股数的过程中，学生们放飞自己的思维，想在一组勾股数的直角边里面再找三个数来组成一组勾股数，才这样引出了越来越多的问题！如果老师能最终证明那个式子不可能是平方数，还请老师帮忙赐教！我和我的学生衷心感谢两位老师了！！

Jack315

独坐看云起 发表于 2024-3-21 16:50
不好意思！给两位老师添麻烦了！我是在辅导初二年级学生数学兴趣班的时候，让他们利用Excel探究勾股数的 ...

这是初等数论中有关【勾股方程的内容】：


两个式子都能表示成两个平方数的差，
但我都没能证明命题成立或不成立。

直觉仍然是命题不成立，但要通过编程来找反例。
而且找到这个反例很可能需要程序运行很长时间，
因为变量数量有点多。

即使最终找不到反例，结果还是既无法证实，也无法证伪。
……坐等高人出手。

中学生除了玩数论，是不是有其他更好玩的，比如几何

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-21 17:39
这是初等数论中有关【勾股方程的内容】：

      谢谢老师的指点！我们兴趣小组得到的结论也是勾股数的斜边应该是形如两数的平方和的形式，且这两数平方和是素数的形式，从而就是平方和的积的形式，因为平方和的积都可以化成平方和。
      不过让他们的思维放开以后，要在这些勾股数里面三个直角边来组成一组勾股数，就把问题越来越难，指数越来越高，就一般化成了我们最后的问题！还要恳请老师们再再费心帮我们看看能有解决的办法吗？我和我们的学生们真的衷心感谢老师们的辛勤和付出了！！感谢感谢！！

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-21 17:39
这是初等数论中有关【勾股方程的内容】：

老师周末好！这个问题是学生们利用电子表格Excel来找勾股数引出来的，后来还发现这个式子里面的q还因该是分别两个奇偶数的平方和且是素数。

Jack315

独坐看云起 发表于 2024-3-23 10:23
老师周末好！这个问题是学生们利用电子表格Excel来找勾股数引出来的，后来还发现这个式子里面的q还因该是 ...

\((q^{2i}-1)(p^{4m}-q^{4n-2i})\)
=\((p^{2m}q^i+q^{2n-i})^2-(p^{2m}+q^{2n})^2\)
=\((p^{2m}q^i-q^{2n-i})^2-(p^{2m}-q^{2n})^2\)

【参考 24# 的图片】
假设这是勾股数中的两个数，
首先一个问题是这两个数有没有公因数，我推断不出来。
其次，假设没有公因数，即这是勾股方程本原解中的两个数。
这时 \(p^{2m}q^i\pm q^{2n-i}\) 必为奇数，
由此可知 \(p\) 为偶数、\(q\) 为奇数，以及 \(p^{2m}\pm q^{2n}\) 为奇数。
于是得到方程组：
\(p^{2m}q^i\pm q^{2n-i}=a^2+b^2\)
\(p^{2m}\pm q^{2n}=a^2-b^2\)
解出 \(p,q\) 不太容易，至少会比较复杂；
解出 \(a,b\) 比较容易，但也推断不出有用的结论。

期待高人出手。

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-23 18:06
\((q^{2i}-1)(p^{4m}-q^{4n-2i})\)
=\((p^{2m}q^i+q^{2n-i})^2-(p^{2m}+q^{2n})^2\)
=\((p^{2m}q^i-q^{2n ...

老师周末好啊！谢谢老师尝试用各种方法帮我解决问题！老师上一次帮我把一个式子化在两个相邻整数的平方之间，那这个平方差的式子也能那样化在两个相邻整数的平方之间吗？