各位老师，怎么证明这个式子不等于零呢？

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-2 22:05
\((p^8+2p^4-2p^2-3)^2

老师太厉害了！谢谢您！能麻烦老师把这个推理出来的过程分享给我吗？实在太感谢老师了！

Jack315

独坐看云起 发表于 2024-3-2 19:12
非常感谢老师！老师您的方法真的太好了!我还能向老师请教一个问题吗？又打扰老师了！ ...

取 p = q = m = n = 2, i = 3 ，则：
\(p^{4m-2i}q^{4n}+p^{2i}-p^{4m}-q^{4n}\)
\(=2^{4\times2-2\times3}\times2^{4\times2}+2^{2\times3}-2^{4\times2}-2^{4\times2}\)
\(=2^2\times2^8+2^6-2^8-2^8\)
\(=1024+64-256-256\)
\(=576=24^2\)
所以命题不成立。

Jack315

独坐看云起 发表于 2024-3-2 23:20
老师太厉害了！谢谢您！能麻烦老师把这个推理出来的过程分享给我吗？实在太感谢老师了！ ...

令 \(f(p)=(p^4+1)^4-4p^6(p^2+1)^2\)。当 \(p>1\) 时有：
\(f(p)-(p^8+2p^4-2p^2-2)^2=-2p^8+4p^6+8p^4-8p^2-3<0\)
\(f(p)-(p^8+2p^4-2p^2-3)^2=4(p^6+3p^4-3p^2-2)>0\)
即：\((p^8+2p^4-2p^2-3)^2<f(p)<(p^8+2p^4-2p^2-2)^2\)

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-3 00:06
令 \(f(p)=(p^4+1)^4-4p^6(p^2+1)^2\)。当 \(p>1\) 时有：
\(f(p)-(p^8+2p^4-2p^2-2)^2=-2p^8+4p^6+8p^4- ...

谢谢老师！谢谢老师这样耐心细致的帮我解决疑问，祝老师周末快乐！身体健康！全家幸福开心！

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-2 23:56
取 p = q = m = n = 2, i = 3 ，则：
\(p^{4m-2i}q^{4n}+p^{2i}-p^{4m}-q^{4n}\)
\(=2^{4\times2-2\times ...

谢谢老师又帮了我一个大忙！看来还是设计问题的时候不细心，应该是要求p不等于q！！麻烦老师帮我看看这样又该怎么办呢？先谢谢老师了！！

Jack315

独坐看云起 发表于 2024-3-3 10:26
谢谢老师又帮了我一个大忙！看来还是设计问题的时候不细心，应该是要求p不等于q！！麻烦老师帮我看看这样 ...

取 \(p=2, q=4, m=4, n=2, i=7\)，则：
\(p^{4m-2i}q^{4n}+p^{2i}-p^{4m}-q^{4n}\)
\(=2^{4\times4-2\times7}4^{4\times2}+2^{2\times7}-2^{4\times4}-4^{4\times2}\)
\(=2^2\times4^8+2^{14}-2^{16}-4^8\)
\(=2^{18}+2^{14}-2^{16}-2^{16}\)
\(=2^{14}(2^4+1-2^3)\)
\(=2^{14}\times3^2\)
\(=(2^7\times3)^2\)
命题不成立

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-3 17:20
取 \(p=2, q=4, m=4, n=2, i=7\)，则：
\(p^{4m-2i}q^{4n}+p^{2i}-p^{4m}-q^{4n}\)
\(=2^{4\times4-2\tim ...

谢谢老师！老师真的太好了！！看来我设计这个问题真的是太不上心了，这里的p,q应该是互素的才正确！麻烦老师再帮忙看看呢！祝老师工作愉快！天天开心！

Jack315

独坐看云起 发表于 2024-3-3 20:38
谢谢老师！老师真的太好了！！看来我设计这个问题真的是太不上心了，这里的p,q应该是互素的才正确！麻烦 ...

既然给出了 \(p, q\) 互素的条件，就不要再考我了……你自己应该就有答案了。

独坐看云起

Jack315 发表于 2024-3-3 21:02
既然给出了 \(p, q\) 互素的条件，就不要再考我了……你自己应该就有答案了。 ...

实在不好意思让老师多心了！！我是要想证明前面那个式子不等于零，想了好久都没有办法，才想着q平方的三项是一个完全平方式，那我就退求其次想办法证明另外四项不能是一个整数的平方吧！还是真心恳求老师帮忙帮忙解决这个问题吧，真的很感谢老师！！

Jack315

独坐看云起 发表于 2024-3-3 22:31
实在不好意思让老师多心了！！我是要想证明前面那个式子不等于零，想了好久都没有办法，才想着q平方的三 ...

\(p, q\) 都是大于 1 的整数时，
\(p^8q^2+q^2+2p^4q^2-p^8-q^4-p^6-p^2q^40\ne0\)
这个命题已经严格证明了。

\(p^{4m-2i}q^{4n}+p^{2i}-p^{4m}-q^{4n}\)
\(=(p^{2m-i}q^{2n}+p^i)^2-(p^{2m}+q^{2n})^2\)
\(=(p^{2m-i}q^{2n}-p^i)^2-(p^{2m}-q^{2n})^2\)
是两个完全平方式相减，只要一个为 0，另一个剩下的就是（负的）完全平方式。
如果两个完全平方式都不为 0，则结果为平方式的前提是这是勾股数中的两个。
也许这个仍然可以证实或证伪。

证伪只要给出一个个例即可，证实后这个能不能算是严格的证明却不一定。
即使严格证明了，猜想接下来参数 \(j\) 又可能被加进来，题目变成：
\(p^{4m-2i-2j}q^{4n}+p^{2i}+p^{2j}-p^{4m}-q^{4n}\)
这样就变得更复杂了……

俺只是偶而来玩玩的，即不是专业人士，也不是真的时间多得没法打发。
如果 LZ 真的在解决某个难题，就直接把问题描述清楚，相信定有高人出手相助。
这样一个题接着一个题，既限制了别人的思路，又让人感觉特别不好。
完全失去了乐趣，而且还不知道能不能有个完。

建议 LZ 把问题描述清楚，加上自己的想法，然后大家一起来出主意。