百度上看到一道解方程的题目，挺有意思，算一算看

mathe

http://tieba.baidu.com/f?kz=326464294 求方程 $7x^6-35x^4+21x^2-1=0$ 的所有实数解

mathe

令$y=x^2$得 $7y^3-35y^2+21y-1=0$ 令 $z=1/y$得 $z^3-21z^2+35z-7=0$ 令$w=z-7$得 $(w+7)^3-21(w+7)^2+35(w+7)-7=0$ $w^3+21w^2+147w+343-21w^2-294w-1029+35w+35*7-7$ $w^3-112w-448=0$ $w^3-4^2*7w-4^3*7=0$ 设$w=d*H$ $d^3*H^3-4^2*7*dH-4^3*7=0$ 另$d^3/(4^2*7*d)=4/3$ 得到$d^2=4/3*4^2*7=4^3*7/3 d=8*sqrt(7/3)$ 代入得 $4H^3-3H=4^3*7*4/d^3={4^4*7/(4^3*7/3)}/d=12/d=sqrt(27/28)$ 所以设$H=sin T$ $sin(3T)=-sqrt(27/28)$ $3T= -sin^-1 sqrt(27/28)$ $T=-1/3 sin^-1 sqrt(27/28) + {2k pi}/3 (k=0,1,2)$ $H= sin(-1/3 sin^-1 sqrt(27/28) + {2k pi}/3) (k=0,1,2)$ $w=d*H=8*sqrt(7/3)*sin(-1/3 sin^-1 sqrt(27/28) + {2k pi}/3) (k=0,1,2)$ $z=7+w=7+8*sqrt(7/3)*sin(-1/3 sin^-1 sqrt(27/28) + {2k pi}/3) (k=0,1,2)$ $y=1/z=1/(7+8*sqrt(7/3)*sin(-1/3 sin^-1 sqrt(27/28) + {2k pi}/3)) (k=0,1,2)$ $x=+-sqrt(y)=+-1/sqrt(7+8*sqrt(7/3)*sin(-1/3 sin^-1 sqrt(27/28) + {2k pi}/3)) (k=0,1,2)$ 共六个实数解。

mathe

百度上出题者给出标准解法了，比我上面方法简单多了， 查看$(1+x i)^7$,其中$i$为单位虚根，即$i^2=-1$ 可以看出，上式展开实部就是方程的左边，所以我们得到 $Re{(1+x i)^7}=0$ 设$x=tg(t)$代入，得到$cos(7t)=0$ 所以得到 $x=tg(pi/14+\frac{2 k pi}{7}), k=1,2,..,6$ 其实看到上面方程的系数我就想到二项式系数了。只是对于解三次方程，我有自己的方法，实在太熟悉了，所以不免直接使用自己熟悉的套路取求解。 关于求3次方程，大家都知道有个卡当公式，不过使用这个公式中，我们经常会发现，明明解应该是实数，可以用卡当公式表达出来的总是带有$i$. 关于这个问题，我自己研究过，很多情况可以用正弦函数和双曲正弦函数来表示，这样就可以避免将实根用复数形式表示。 通常情况，如卡当公式求解过程，我们可以先将三次方程标准化为 $x^3+ax+b=0$ 我们注意到，对于正弦函数有 $sin(3x)=3sin(x)-4sin^3x$ 所以如果我们能够通过对$x$进行线性变换，使得$x^3$和$x$的系数比例为$-4/3$那么就有可能可以将解表示成三角函数形式。 同样，我们还可以考虑 双曲正弦函数$sh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2$ 对于这个函数也可以有类似的结论，因为$sh(3x)=4sh^3(x)+3sh(x)$ 当然这种方法也不能保证所有三次方程的实根都可以用三角函数和双曲函数表示。

dobear

看看

无心人

有兴趣计算1度的正弦的代数表示么? 原来用Maple算过，但极度不自信于结果 一直想找到验证的方法

gxqcn

原帖由 无心人 于 2008-3-4 21:49 发表 有兴趣计算1度的正弦的代数表示么? 原来用Maple算过，但极度不自信于结果 一直想找到验证的方法

我看到过 $3^@$ 所有整数倍的三角函数用初等代数式（加减乘除开方）表达的， 不知 $sin1^@$ 是否为超越数？

mathe

显然是代数数。所有有理角度的三角函数都是代数数

gxqcn

谢谢楼上的指正。 我将它与“尺规三等分任意角”的可行性问题搞混了。

无心人

网上搜来， 占个地方 1）；sin30°=1/2，cos30°=√3/2； sin36°=√（10-2√5）/4，cos36°=（√5+1）/4； 利用半角公式即可求出： sin3°=sin（18°-15°） 2）；sin40=√（75-15√5）/10，cos40°=√（25+15√5）/10； 利用半角公式即可求出： sin2°=sin（20°-18°） 3）；sin1°=sin（3°-2°）,sin1=√[(1-sin2°)/2]；

无心人

太乱了太复杂了, 无心整理 $sin1^\circ= root{3}{-{(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))}/128+{sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6)-sqrt(2))}/128+sqrt(1/4({(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))-sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6)-sqrt(2))}/64)^2-1/64)} +root{3}{{(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))}/128+{sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6)-sqrt(2))}/128-sqrt(1/4({(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))-sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6)-sqrt(2))}/64)^2-1/64)}$