百度上看到一道解方程的题目，挺有意思，算一算看

wayne

10# 无心人 没贴完吧~~

mathematica

这个方程似乎能用mathematica直接求解

wuchangqian

不懂数学！

sheng_jianguo

2）；sin40=√（75-15√5）/10，cos40°=√ ... 无心人 发表于 2008-3-6 15:45

公式sin40=√（75-15√5）/10，cos40°=√（25+15√5）/10是如何得出的？

liexi20101117

挺有意思的一个问题，我上高中的时候就想求这个问题，可知识太菜了，后来工作又不了了没下文了。今天看到版主们的结果与兴趣，我有些激动呀。

282842712474

当然这种方法也不能保证所有三次方程的实根都可以用三角函数和双曲函数表示。 mathe 发表于 2008-2-19 18:55

我有办法把所有的三次方程的实根都用三角函数来表示，这是我之前的研究和总结： http://spaces.ac.cn/index.php/archives/831/

倪举鹏

无心人 发表于 2008-3-6 15:45
网上搜来， 占个地方
1）；sin30°=1/2，cos30°=√3/2；
sin36°=√（10-2√5）/4，cos36°=（√5+1） ...

吓我一跳，我说sin(40) 怎么可以求出来，算一下数值，果然是错的

葡萄糖

无心人 发表于 2008-3-6 16:15
太乱了太复杂了, 无心整理
$sin1^\circ= root{3}{-{(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))}/128+{sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6)-sqrt(2))}/128+sqrt(1/4({(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))-sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6)-sqrt(2))}/64)^2-1/64)}
+root{3}{{(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))}/128+{sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6)-sqrt(2))}/128-sqrt(1/4({(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))-sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6)-sqrt(2))}/64)^2-1/64)}$

...

这个结果有问题，数值对不上
是不是哪里漏了？

TSC999 发表于 2015-10-15 21:35
那个公式不是 sin1°，改个符号以后是 cos31° 的公式：
\begin{align*}
&\cos31^\circ=\\
&\sqrt[3]{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}\\
&\sqrt[3]{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}-\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}
\end{align*}
...

sheng_jianguo

葡萄糖 发表于 2022-1-31 18:28
这个结果有问题，数值对不上
是不是哪里漏了？

这的确是一个很有意思的题目。
从理论上说，当整数n=3k+1或n=3k+2（k也是整数）时，sin(n°)或cos(n°)的值决不可能由一些整数通过加减乘除开方得到（故 9#在网上搜来的sin(40°)或cos(40°)的计算公式都是错的）。否则尺规可作出正九边形，或尺规可三等分60°角，这都严格证明是不可能的。
你在这里转发的cos(31°)计算公式（用到了开立方）是否正确，有待本论坛各位专家的正确判定。

sheng_jianguo

葡萄糖 发表于 2022-1-31 18:28
这个结果有问题，数值对不上
是不是哪里漏了？

仔细分析后得出：这两个公式都是计算`\sin(59°)`（或`\cos(31°) `）的公式，只是前一个公式中少了一个减号，后一个公式中少了一个加号。分析如下：
设`x=\sin(1°)`
根据`\sin`的3倍角公式：`x^3-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}\sin(3°)=0`
令：`p=-\dfrac{3}{4}，q=\dfrac{\sin(3°)}{4}，ω_1=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}，ω_2=\dfrac{-1-\sqrt{-3}}{2}`
其中：`\sin(3°)=\dfrac{1}{16}[(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}]`
根据一元三次求根公式：
`x_1=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}`
`x_2=ω_1\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+ω_2\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}`
`x_3=ω_2\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+ω_1\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}`
经数学软件验算得到：
`x_1=\sin(59°)=\cos(31°)`
`x_2=\sin(-61°)=\cos(151°)`
`x_3=\sin(1°)=\cos(89°)`
将`p、q`用具体实数代入后得：
`x_1=\sin(59°)=\cos(31°)=`
`\sqrt[3]{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}

+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`+\sqrt[3]{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}-\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}

+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`x_2=\sin(-61°)=\cos(151°)=`
`ω_1\sqrt[3]{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt

{6}+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`+ω_2\sqrt[3]{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}-\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt

{6}+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`x_3=\sin(1°)=\cos(89°)=`
`ω_2\sqrt[3]{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt

{6}+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`+ω_1\sqrt[3]{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}-\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt

{6}+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
注意：上面的各计算公式中，都出现了虚数。其中开方和开立方计算是取主值运算（一般计算器、有些数学软件开方和开立方的计算不是要求的取主值运算，故其有可能不能按

上面公式求出一元三次方程的正确解），举例如下：
`\sqrt{4}=2，\sqrt{-4}=2i，\sqrt{i}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i，\sqrt{-i}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i`
`\sqrt[3]{8}=2，\sqrt[3]{-8}=-2，\sqrt[3]{i}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i，\sqrt[3]{-i}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i`

在这里，我也想提一个思考了很长时间的问题：
`\sin(1°)`是否能用一些整数，在实数范围内通过加、减、乘、除、开方、开立方运算得到（也就是不能出现负数开方）？我猜想是不可能的，但没能严谨证明这个结论。
本论坛有多位编程及数学软件应用的绝对高手，不知是否能解决这个也是很有意思的问题。