求 rn 的通项公式

iseemu2009

如图是边长 a=1 的正方形，内有两个半圆和一个四分之一圆，依次作与它们相切的黑色小圆，则第 n 个圆的半径 `r_n` 通项公式是什么？
请具体计算第三个圆的半径`r_3`。

求 rn 的表达式

northwolves

假设正方形左下角为原点，则第n个圆的方程似乎是：

$\left(x-\frac{12}{4 n^2+12 n+17}\right)^2+\left(y-\frac{8 n+12}{4 n^2+12 n+17}\right)^2=(\frac{4}{4 n^2+12 n+17})^2$

iseemu2009

完全正确，十分厉害，上次第一个解出了正五边形那道题。这题能公布一下过程吗？

northwolves

1. s[p_]:=Values@Solve[{0<r<p[[3]],(x-1)^2+y^2==(1-r)^2,(x-1/2)^2+y^2==(1/2+r)^2,(x-p[[1]])^2+(y-p[[2]])^2==(r+p[[3]])^2},{x,y,r}][[1]];
   
2. sol[n_]:=Nest[s[#]&,{0,1/2,1/2},n];
   
3. sol@3

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{4/19, 28/57, 4/57}

northwolves

1. NestList[s[#] &, {0, 1/2, 1/2}, 20]

复制代码

{{0,1/2,1/2},{12/17,12/17,4/17},{4/11,20/33,4/33},{4/19,28/57,4/57},{12/89,36/89,4/89},{4/43,44/129,4/129},{4/59,52/177,4/177},{12/233,60/233,4/233},{4/99,68/297,4/297},{4/123,76/369,4/369},{12/449,84/449,4/449},{4/179,92/537,4/537},{4/211,100/633,4/633},{12/737,108/737,4/737},{4/283,116/849,4/849},{4/323,124/969,4/969},{12/1097,132/1097,4/1097},{4/411,140/1233,4/1233},{4/459,148/1377,4/1377},{12/1529,156/1529,4/1529},{4/563,164/1689,4/1689}}

mathe

这个题目可用用反演变换来做

nyy

northwolves 发表于 2025-2-13 23:26
假设正方形左下角为原点，则第n个圆的方程似乎是：

$\left(x-\frac{12}{4 n^2+12 n+17}\right)^2+\left(y- ...

你是不是先求出前几项，然后弄出通项公式的？

nyy

求红色线段的长度值
https://bbs.emath.ac.cn/thread-17995-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)

类似的这个题目！

iseemu2009

所有多圆相切的问题都可以用反演方法来求解，比如鞋匠刀问题，迪卡尔四圆问题，本问题等。

nyy

northwolves 发表于 2025-2-14 00:05
{4/19, 28/57, 4/57}

所有圆的面积之和等于多少？