数列通项公式之二

〇〇

一下子看不明白

mathe

如果用u(k,i)表示满足以下条件的n的个数（其中$i<=k$ 056254628 发表于 2010-1-13 12:15

没有注意其中$i<=k$的条件,应该是对的

mathe

现在可以证明这个结论. 我们可以看到g(n)函数在$1<=n<=2$时的值为1,1 对于一对互素的不小于1的正整数a,b,我们定义函数u(a,b)如下 $u(1,1)=1$ $u(a,b)={(u(a-b, b)+1,"when "a>b),(u(a, b-a)+1,"when "b>a):}$ 也就是u(a,b)实际上是对a,b使用辗转相除法达到(1,0)需要的步数 而对于g(n)在$[2^{k-1},2^k]$中相邻的数构成的数对,有如下性质: i)任意数对中两个数(a,b)互素. ii)$[2^{k-1},2^k]$中的所有数对(a,b)正好为u(a,b)=k的所有数对

mathe

现在余下的就很容易可以证明了, 首先,对于任意(a,k),其中$gcd(a,k)=1,1<=a

056254628

2^(k-1)

mathe

2^(k-1) 056254628 发表于 2010-1-13 16:54

这样是不行的,没有证明不会重复,而且所有的组合都会出现,而且也是不合适的,有些i是从2^(k-2)

056254628

a、b对，所有的组合都会出现，确实需要严格证明。 实际上i<=k时，是成立的。而i>k,则是必有一些组合不出现，所以u(k,i)<φ(i) 当i>k时。 而所有的组合都不会重复,是很好证明的。 ------------------------------------------------------------------- 已知g(n)的第2^(k-1)到2^k项的值。 因为g(2^k)=g(2^(k-1)) g(2^k+2)=g(2^(k-1)+1) ...... g(2^k+2^k)=g(2^k) -------------------- g(2^k+1)=g(2^(k-1))+g(2^(k-1)+1)=g(2^k)+g(2^k+2) g(2^k+3)=g(2^(k-1)+1)+g(2^(k-1)+2)=g(2^k+2)+g(2^k+4) ...... 那么g(n)的第2^k到2^(k＋1)项的值可以这样得到。 先把g(n)的第2^(k-1)到2^k项的值全部抄下，再把每个相邻的两项值相加填入它们之间即可得到g(n)的第2^k到2^(k＋1)项。 具体如下： 写成如下就一目了然： 第k层 1 1 第1层 1 2 1 第2层 1 3 2 3 1 第3层 1 4 3 5 2 5 3 4 1 第4层 1 5 4 7 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 5 1 第5层 所以数列g(n)的第2^(k-1)到2^k项之间的每一项，都可写成a*g(2)+b*g(1)=a+b的形式。其中a、b为正整数。 g(1)可以看成(0,1)对，g(2)可以看成(1,0)对.g(n)看成(a,b)对。 假设a/b都随着n的增大而增大, 2^(k-1) 那么可以推出 a/b都随着n的增大而增大, 2^k

mathe

还是错误的,不知道性质1要说明什么

056254628

mathe大师，真不知性质1说明什么吗？ 在a和b是互质的条件下。 性质1说明在2^(k-1)

056254628

看一下http://bbs.emath.ac.cn/thread-2063-1-1.html第三楼贴就明白了 ----------------------------------------------------------- 比如取k=4, 那么g(8)=1,g(16)=1 g(9) g(10) g(11) g(12) g(13) g(14) g(15) 刚好排成如下 4 3 5 2 5 3 4 1+3 1+2 2+3 1+1 3+2 2+1 3+1 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1/1 < 3/2 < 2/1< 3/1