有关椭圆的难题

test01

题目和图都在图片里...解答出来的话欢迎发给我邮箱511145524@qq.com

题目

wayne

解析几何里常见的求轨迹题，此题应该不是很难~~
待我晚上有时间了给出答案

本因坊算帐

用解析几何应该不难吧，最后总归化为恒等式的证明，不过有可能很繁琐

用纯平面几何方法不知道行不行

wayne

我给一个思路吧：

设交与定直线上的两点依次为 (x1,y1),(x2,y2),其中点,即动圆的圆心,为(X,Y),顺便设一下动圆的半径为r,不妨设其中一个定圆的圆心为(p,q)，半径为R。

那么根据上述的参数设定,存在关系：
X=(x1+x2)/2
Y=(y1+y2)/2
4*r^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

给定了动点P的坐标,(x0,y0)，上面的x1,x2,y1,y2,r值就可以确定，计算出来，代入下面的式子
(X-p)^2+(Y-q)^2=(R+r)^2  
化简，让各个变项的系数为0，进而可以得到定圆的半径以及坐标。。。

wayne

设两定圆的坐标为(x,y),半径为R，计算得到：

A^2=a^2-b^2
A^4=R^2(A^2+B^2)

Ax=By
(x+A)^2+y^2=R^2

hujunhua

两个方法：

1、特殊点法，适用于高中。特殊点的选取对于计算的简化很重要。两个无穷大圆（即两条平行直线）是很好的特殊点。
椭圆的左顶点(-a, 0) 记为L，右顶点(a, 0)记为R，定直线记为l.
过R作定直线l的平行线，与l交于该方向的无穷远点A₁，与椭圆的另一交点记为P₁，连结直线LP₁，交l于B₁. 以A₁B₁为直径的圆即是l的过点B₁的垂线，记为t₁。
过L作定直线l的平行线，与l交于该方向的无穷远点A₂，与椭圆的另一交点记为P₂，连结直线RP₂，交l于B₂. 以A₂B₂为直径的圆即是l的过点B₂的垂线，记为t₂。
（A₁与A₂是否相同此处且不论）
t₁与t₂显然是两平行直线，两定圆皆夹于其间，直径就等于两平行线的间距。

选第3个特殊点，就可以确定两个圆心了。不过选哪点会比较方便是值得考虑的，但我没多加考虑了，自己想想吧。
特殊点法更适用于平面几何的作图，转化为解析几何的计算也是可行的，也许计算量不见得小，但是程序化的，没有歧路。


2、包络法，适用于大学学过微分方程的。（找到一个PDF文档）http://jpkc.qhnu.edu.cn/home/Public/Uploads/4a42de96089e8.pdf

应用椭圆的参数方程，设P点坐标为(acosθ，bsinθ), 可得到含有参数θ的圆簇方程F(x,y,θ)=0, 与F'_θ=0联立消去θ即可得到定圆方程。

〇〇

圆簇方程

mathe

题目有个问题没有交代清楚.
两个包络圆对于任意给定的直线和椭圆都存在还是仅对于特定关系的椭圆和直线才存在的.

如何计算不重要, 但结论后面有没有什么隐藏的特别性质值得关注.

wayne

mathe问的很关键
如果我没计算错的话，是对于特定关系的椭圆和直线才存在的，（A=c）

本因坊算帐

结论应该是对任意椭圆和直线都成立的，只不过某些情形下，所求的圆会退化成一点或者一直线

6#的第三个特殊点，可以取椭圆的长轴某端点，这样所引出的直线一条是X轴，一条是垂直于X轴的，这样与那个定直线的两交点，恰好是直角三角形的斜边，圆心直径都很容易确定了