有关椭圆的难题

mathe

本因坊在15#所言有理，将给定的椭圆转化为圆以后，可以简化计算和作图。 我们假设开始椭圆的长轴顶点（变为圆的一条直径的两个端点）为`A,B`两点。 现在重新建立坐标系，以l为 x 轴,设`A(-a,b),B(a,c)` . 那么连接圆上一点和`A,B`的两条直线垂直，假设这两条直线交l于`M(u,0),N(v,0)` 由`AM`垂直`BM`得到 $(-a-u)*(a-v)+bc=0$ MN中点T坐标为$({u+v}/2,0)$ 取 y 轴上的点`H(0,h)`，使以之为圆心、半径为 a 的圆与以MN为直径的动圆相切（外切时 N 左 M 右，内切时 M 左 N 右）, 则有 $h^2=(\frac{u-v}2+a)^2-(\frac{u+v}2)^2=(a+u)(a-v)=bc$是常数, 也就是$h=sqrt(bc)$为常数, 即所作圆H为一定圆。

mathe

关于上面将椭圆变化成圆，保持直线不变的仿射变换，可以通过下面的方法构造 如果，做椭圆平行于直线l（即图中直线CD)的两条切线，切点为U,V,连接UOV这条直线交l于S点 于是我们可以做仿射变换保持l不变，而将SO变换成垂直l(变换为SO'). 经过这个仿射变换后，椭圆上各点A,B,E,F,G,H,U,V分别变换为A',B',E',F',G',H',U',V',它们落在另外一个椭圆上，而这个椭圆的长轴平行于直线l. 此后，我们只要对SO'方向再进行一次放缩变换就可以将这个椭圆变换成圆而同时保持直线l不变。 而如果要计算最后目标圆的圆心位置，我们首先可以知道它在直线SO'上 而且到S的距离为${|G'H'|}/{|U'V'|}*sqrt(d_{A'}d_{B'})$,其中$d_{A'},d_{B'}$分别是A',B'到直线l的距离，或者上面可以改成${|GH|}/{d_V-d_U}*sqrt(d_Ad_B)$,其中$d_U,d_V,d_A,d_B$分别是U,V,A,B到直线l的距离

hujunhua

在这个问题中，关于包络两个等圆的命题对于一般二阶曲线和它的一条普通弦都是成立的。不必限于椭圆，也不必取主轴或者直径(过中心的弦)。 当 `P` 点在椭圆 `E` 上滑动时，定直线 `l` 上的两个交点 `A` 和 `B` 动成两个同底点列 `l(A)` 和 `l(B)`，由于都与椭圆上的点列 `E(P)` 呈透视对应，故 `l(A)` 与 `l(B)` 是射影对应的。于是随便在平面上找两定点 `O_1` 和 `O_2`，线束`O_1-A`与线束`O_2-B`都会交成一条新的二阶曲线。以这条新的二阶曲线和弦`O_1O_2`依样作圆簇，仍得到原来的圆簇。也就是说，对于一般的二阶曲线和它的一个普通弦，所作的圆簇总是包络那两个等圆。 可见，我们根本不需要外面的二阶曲线，只需要定直线 `l` 及其上的一个一维射影变换就够了。表述为： 连接一维射影变换的原和像的半圆弧包络一个圆。

数学星空

根据mathe 16#的描述可以算出 ： 其中一个定圆1的方程为： $(x-B^2*A^3*(-b^2+a^2)/((A^2+B^2)*(b^2*A^2+a^2*B^2)))^2+(y+B^3*A^2*(-b^2+a^2)/((A^2+B^2)*(b^2*A^2+a^2*B^2)))^2=(b^2*A^2+a^2*B^2)/(A^2+B^2)$ (1) 另外一个定圆2是 (1)关于直线$x/A+y/B=1$对称的圆 $(x-B^2*A*(b^2*A^2+a^2*A^2+2*a^2*B^2)/((A^2+B^2)*(b^2*A^2+a^2*B^2)))^2+(y-B*A^2*(2*b^2*A^2+a^2*B^2+b^2*B^2)/((A^2+B^2)*(b^2*A^2+a^2*B^2)))^2=(b^2*A^2+a^2*B^2)/(A^2+B^2)$

hujunhua

发现动点P与动圆圆心的连线包络于一个与原椭圆同心、可能是位似的椭圆。

mathe

的确对普通二次曲线和一般的弦也有类似的结论，只是对弦和直线的位置关系有一定的要求。 由于普通二次曲线可以通过投影变换变换成圆，我们可以先考虑圆的情况。 为此，我们考虑一条直线l和一个圆O以及其一条弦AB. 如果过O点的l的垂线通弦AB相交于弦上一点S,那么结论会成立。 我们可以过S做l的平行线交圆于CD两点。 然后设l和CD交点为Q(Q为无穷远点). 做投影变换将圆变换为单位圆，C变换为(-1,0),Q变换为x轴上无穷远点。 那么S点会变换到原点，而CD变换为单位圆的直径，而这时AB也是单位圆的直径。 而l上所有点由于无穷远点保持无穷远点，只是进行了仿射变换，保持所有线段之间比例不变。 在这种情况下，可以满足题目的条件。

mathe

推广到一般二次曲线，需要 i)直线l的无穷远点在二次曲线外部 ii)二次曲线同l平行的弦的中点连线同固定线段AB相交 iii)直线l同线段AB不相交 那么满足条件。 不然不行（实际上是一个虚圆）

hujunhua

楼上的条件，只有第iii)条是必须的，准确地说，是l与开线段AB不相交。交在端点还是可以的，只不过两圆这时重合为一个圆。 也就是，12#说的是不与椭圆长轴相交于长轴内，对于普通弦也是成立的。我在12楼已经将l移动过程中定圆的变化情况描述得很清楚了，只是没画图，可能看起来有点费劲，真是不好意思了。 12#的描述与21#计算结果是一致的. $h=\sqrt (bc)$说明只要b与c不异号，也就是弦的端点不要分开在定直线的两侧，定圆就存在。

mathe

试着在做了个二次曲线为圆，不满足条件ii)的情况，的确结果好像也是圆。 不过hujunhua的描述我还是看不明白。主要感觉很多过程理由还是不充分。 当然如果想通过射影变换，然后利用弦AB是直径时候的结论，可能通过复射影变换应该可以解决。 不知道如果直接计算弦AB是圆的普通弦，而不是直径时候的计算量如何。

mathe

反过来，圆心在一条定直线上的动圆与一个定圆相切时，动圆与定直线的两个交点之间满足什么关系的问题会更加简单一些，如图： 以定直线 `l` 为横坐标建立直角坐标系，假设两个交点坐标为`(u,0),(v,0)`, 它同一个圆心在`(a,b)`, 半径为 `r` 的圆相切：外切时 `u` 左 `v` 右，内切时 `v` 左 `u` 右。易得 $({u+v}/2-a)^2+b^2=({v-u}/2+r)^2$ 即 $(v+r-a)(u-r-a)+b^2=0$ 式中 `u` 和 `v` 的平方项都被抵消了，两者之间为双线性关系，即射影变换关系。 hujunhua在23#说：连接一条直线上射影变换的原和像的半圆弧包络一个圆。现在我们得到了他的逆命题。 这算是从逆向印证了hujunhua的断言。他的断言没有说明什么样的射影变换才存在定圆，现在容易确定了。 假定x轴上的一个一维射影变换\[Γ ：kuv+lu+mv+n=0\] 将原(`u`)射成像(`v`). 这里`u, v`是x坐标，`k, l, m, n`是常数。试确定以连结原(`u`)和像(`v`)的线段为直径的圆切于定圆的条件。 设切于定圆之一`(x-a)^2+(y-b)^2=r^2`, 由mathe的那个双线性方程与`Γ`的双线性方程比较系数就可得到\[a=-\frac{l+m}{k}, b=\frac{m-l}{k}, r^2=\frac{kn-lm}{k^2}\]可见定圆存在的充要条件是 `kl-mn>=0`. (否则为虚圆） 当`k=0`时，定圆为无穷大圆，当`k`非零而`kl=mn`时，定圆缩成点圆。