有关椭圆的难题

wayne

10# 本因坊算帐 哦，我再检查一下

hujunhua

问题要最终解决，还得依靠从圆簇方程`F(x,y,θ)`中消去 `θ` 得到的定圆方程来讨论不同的`a,b,A,B`对方程所代表的曲线形态的影响。 楼主的点`A，B`与直线l的截距`A，B`用了相同字母，是个失误吧，以下`A，B`表示点，至于直线方程中的截距，如果需要的话，换成 `h` 和 `v`. 我简单地画过图，结论是当直线 `l` 不与椭圆长轴相交时，包络为两定圆。与长轴相交的情况分为两种： 1、当直线l穿过`L`或者`R`之一时，两圆重合。 2、当l分隔`L`与`R`时，包络就不存在了。 可以动态地考虑问题：由于`l`是圆簇的圆心线，所以两定圆(如果存在)是关于`l`对称的。 保持 l 的斜率不变，平行地移动l时，平行四边形RP₁LP₂保持不动，两平行线间的距离B₁B₂=RP₁=LP₂也保持不变。 1、当l从椭圆外移动到与椭圆相切（切点T）的位置时，第3个特殊点就可选择T。这时A=B=T, 动圆退化为点T，所以T是两定圆的切点。即两定圆从相离移动到相切（）。 2、当l继续移动到与椭圆相割时，记割弦为CD。当P移动到C或者D时，动圆都退化为点P，所以CD是两定圆的相交弦。 3、当l 继续移动到穿过R时，弦CD与RP₁重合，两个直径相等的定圆的相交弦之长等于直径了，实际就是重合了，RP₁就是两圆的共同直径。 4，当l继续移动到与长轴LR相交（交点不同于L和R）时, 弦CD>RP₁, 包络消失（否则两定圆的相交弦比其直径还长，这不可能）。包络消失的原因是圆簇为层层相套，在拓扑上近于同心圆簇了。 为了简化，可以让a=b，即考虑椭圆为圆的情况。这时省去了过B₁，B₂作垂线的步骤，因为LB₁, RB₂已是l的垂线（平行四边形RP₁LP₂变成矩形）。

wayne

借助计算机的帮助，计算发现无结果。 可以确定，问题是针对特定关系的直线和椭圆的

wayne

楼主进论坛第一帖， 扔下题目和邮箱， 也不出来澄清一下 也太缺德了吧，

本因坊算帐

可以通过仿射变换把已知椭圆变成圆而保持定直线 l 为不变直线，并保持PA、PB与直线的交点点列为不动点列。使问题稍为简化。 只要定直线上的交点点列保持不变，那么原来的圆簇就不变，故命题依旧不变。 特别说明：我们所选的仿射变换不作用于后来的圆簇。

mathe

如同题目，先假设题目成立，也就是所有圆和一个定圆相切，我们先看看如何找到那个定圆。 hujunhua在6#找到的两条平行线非常有用，说明了圆心到两平行线距离相等。 如果 假设椭圆两长轴顶点为A,B. 利用hujunhua方法先找到P1,P2,使得AP1平行l,BP2平行l AP2和BP1分别交l于M,N.过M,N的l的垂线l1,l2都同目标圆相切。 记同l1,l2都平行而且同它们平行的直线为l3，那么目标圆圆心在l3上 设长轴AB交l于D,过A,B和短轴平行的直线交l于E,F O1,O2分别为DE,DF的中点。 那么以O1为圆心，O1D为半径的圆， 以O2为圆心,O2D为半径的圆 都和目标圆相切，一内切，一外切 于是，如果目标圆心为O,那么必然有|OO1|+|OO2|=|O1D|+|O2D|＝|CD| 也就是目标圆心在以O1,O2为焦点，|CD|为长轴长的椭圆上。 如果作出这个椭圆，椭圆和直线l3的两个交点正好是两个圆心

wayne

问题归结为 `\theta` 变动时，下面关于 `\theta` 的表达式恒为0 其中 `R` 为定圆半径，定圆圆心为 `(p,q)` $a^2 A^2 B^2 \cos ^2(\theta )-2 a^2 A B^2 p \cos ^2(\theta )+a^2 B^2 p^2 \cos ^2(\theta )+a^2 B^2 q^2 \cos ^2(\theta )$ $-a^2 B^2 R^2 \cos ^2(\theta )-2 a b B c R \sqrt{A^2+B^2} \sin (\theta ) \cos (\theta )-2 a A^2 b B p \sin (\theta ) \cos (\theta )$ $-2 a A b B^2 q \sin (\theta ) \cos (\theta )+2 a A b B p^2 \sin (\theta ) \cos (\theta )+2 a A b B q^2 \sin (\theta ) \cos (\theta )$ $-2 a A b B R^2 \sin (\theta ) \cos (\theta )-2 A b^2 c R \sqrt{A^2+B^2} \sin ^2(\theta )+A^2 b^2 B^2 \sin ^2(\theta )$ $-2 A^2 b^2 B q \sin ^2(\theta )-A^2 b^2 c^2 \sin ^2(\theta )+A^2 b^2 p^2 \sin ^2(\theta )+A^2 b^2 q^2 \sin ^2(\theta )$ $-A^2 b^2 R^2 \sin ^2(\theta )+2 A b B c R \sqrt{A^2+B^2} \sin (\theta )+2 A^2 b B c^2 \sin (\theta )-A^2 B^2 c^2$ $-2 A b B c^2 p \sin (\theta )+2 A B^2 c^2 p-b^2 B^2 c^2 \sin ^2(\theta )+2 b B^2 c^2 q \sin (\theta )-B^2 c^2 p^2-B^2 c^2 q^2+B^2 c^2 R^2$

mathe

定圆的半径很好计算的。比如我在22#的图中，定圆直径等于|AP1|或|BP2|

本因坊算帐

我算了一下，如果设椭圆方程为： $ x^2/a^2+y^2/b^2=1$，给定直线方程为：$px+qy+r=0$，则满足题意的定圆圆心为（一般还有另一个，关于定直线做对称即可得出）： $x=-apr(a-b)/(p^2a^2+q^2b^2)$ $y=bqr(a-b)/(p^2a^2+q^2b^2)$ 不知道对不对，可以核对一下

mathe

有了公式可以数值计算来检验一下