求方程的互质解

mathe · 发表于 2010-4-2 11:35:01

看 http://mathworld.wolfram.com/LegendreSymbol.html 有 $(-3/p)=1$当且仅当$p-=1(mod 6)$ 由此我们得到N的素因子必然是2,3或模6为1的素数

mathe · 发表于 2010-4-2 11:46:15

再比如： N=7时，解为{2,3} N=7^2，解为{3,8} N=13^100，解为{9775102200283600508421924434475532688916648626365699376,53955571680724430555006954675322605232760286996653695375} N=7*13时，解为{1, 10}, wayne 发表于 2010-4-2 10:23

只要证明对于每个素数p，其中p模6为1，那么$p=u^2+3v^2$的分解方案存在而且唯一就可以了

mathe · 发表于 2010-4-2 11:47:10

是不是$Z(\omega)$是唯一因子分解整环？

hujunhua · 发表于 2010-4-2 11:56:44

Y. 1(mod6)的素数具有唯一分解u²+3v²，分解成a+bω和a+bω²，是z(ω)中的素数。

mathe · 发表于 2010-4-2 12:39:06

http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html

hujunhua · 发表于 2010-4-2 16:41:27

mathe 劳苦，导出了通解公式。通解公式对优化算法有帮助吗，有的话我就交代一下，是从z(ω)中得来的。与mathe 的公式在形式上有所不同。 {a, b}={u²-v², 2uv-v²} N=u²-uv+v² u>v>0, Gcd(u,v)=1, u≠-v(mod3)。看mathe小心翼翼的，似乎对 N 不含因子2或者3还抱有疑虑。如果你们有兴趣的话，周末了，有点空，我可以给出N只含1(mod6)的质因子、计数公式和通项公式的推导过程，蛮经典的。不过对优化算法未必有帮助。

hujunhua · 发表于 2010-4-2 17:02:44

wayne在线啊？这花献的够快，我想改帖缩头都来不及了。看来得辛苦一点码公式了。

wayne · 发表于 2010-4-2 17:13:51

呵呵，先让我自己来吧，我明天贴出我的推导来然后还要你来纠正。。。

wayne · 发表于 2010-4-3 22:09:40

{a, b}={u²-v², 2uv-v²} N=u²-uv+v² u>v>0, Gcd(u,v)=1, u≠-v(mod3)

我根据你给的通解公式瞬间产生了前一万组解。同我以前的排序后的解进行对比，发现每一项都是严格的对应着的！！！太不可思议了！！！

wayne · 发表于 2010-4-3 22:17:25

emath里的又一个神人啊，快快贴出过程吧

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