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楼主: wayne

[分享] 求方程的互质解

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发表于 2010-4-2 11:35:01 | 显示全部楼层
http://mathworld.wolfram.com/LegendreSymbol.html

$(-3/p)=1$当且仅当$p-=1(mod 6)$
由此我们得到N的素因子必然是2,3或模6为1的素数
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-4-2 11:46:15 | 显示全部楼层
再比如:
N=7时, 解为{2,3}
N=7^2,解为{3,8}
N=13^100,解为{9775102200283600508421924434475532688916648626365699376,53955571680724430555006954675322605232760286996653695375}

N=7*13时,解为{1, 10},
wayne 发表于 2010-4-2 10:23

只要证明对于每个素数p,其中p模6为1,
那么$p=u^2+3v^2$的分解方案存在而且唯一就可以了
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发表于 2010-4-2 11:47:10 | 显示全部楼层
是不是$Z(\omega)$是唯一因子分解整环?
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发表于 2010-4-2 11:56:44 | 显示全部楼层
Y.  1(mod6)的素数具有唯一分解u2+3v2,分解成a+bω和a+bω2,是z(ω)中的素数。
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发表于 2010-4-2 12:39:06 | 显示全部楼层
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发表于 2010-4-2 16:41:27 | 显示全部楼层
mathe 劳苦,导出了通解公式。通解公式对优化算法有帮助吗,有的话我就交代一下,是从z(ω)中得来的。与mathe 的公式在形式上有所不同。
{a, b}={u2-v2, 2uv-v2}
N=u2-uv+v2
u>v>0, Gcd(u,v)=1, u≠-v(mod3)。

看mathe小心翼翼的,似乎对 N 不含因子2或者3还抱有疑虑。如果你们有兴趣的话,周末了,有点空,我可以给出N只含1(mod6)的质因子、计数公式和通项公式的推导过程,蛮经典的。不过对优化算法未必有帮助。

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wayne + 6 + 6 + 6 + 6 + 8 好啊,我好学习学习。。。

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发表于 2010-4-2 17:02:44 | 显示全部楼层
wayne在线啊?这花献的够快,我想改帖缩头都来不及了。看来得辛苦一点码公式了。
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 楼主| 发表于 2010-4-2 17:13:51 | 显示全部楼层
呵呵,先让我自己来吧,
我明天贴出我的推导来
然后还要你来纠正。。。
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 楼主| 发表于 2010-4-3 22:09:40 | 显示全部楼层
{a, b}={u2-v2, 2uv-v2}
N=u2-uv+v2
u>v>0, Gcd(u,v)=1, u≠-v(mod3)


我根据你给的通解公式瞬间产生了前一万组解。同我以前的排序后的解进行对比,发现每一项都是严格的对应着的!!!

太不可思议了!!!
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 楼主| 发表于 2010-4-3 22:17:25 | 显示全部楼层
emath里的又一个神人啊,
快快贴出过程吧
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