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楼主: wayne

[分享] 求方程的互质解

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 楼主| 发表于 2010-4-3 22:40:39 | 显示全部楼层
9# mathe


我相信mathe给的通解如果补全了约束条件,通过某种参数转换,与hujunhua的一定等效
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-4-4 01:42:54 | 显示全部楼层
        Z(ω)及丢番图方程a2-ab+b2= n2简介

一、Eisenstein整数环Z(ω)简介。
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二、几个对本帖有用的引理。
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三、丢番图方程a2+ab+b2= n2的通解公式和解数
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发表于 2010-4-4 02:32:12 | 显示全部楼层
看完之后,就会感觉没啥神的。的确如此,熟悉$Z(\omega)$的人,得到那个通项公式和计数公式不过是一闪念的事。倒是跟不熟悉的人写起来,要费不少功夫码公式。
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发表于 2010-4-4 22:40:23 | 显示全部楼层
40# hujunhua


就是要看看隐藏了什么
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发表于 2010-4-6 00:16:12 | 显示全部楼层
我根据你给的通解公式瞬间产生了前一万组解。同我以前的排序后的解进行对比,发现每一项都是严格的对应着的!!!

太不可思议了!!!
wayne 发表于 2010-4-3 22:09


按照所给的参数(u, v)的定义域,这个通解公式确实可以不重复地给出所有的({a, b}, N)互质解。请特别注意这里使用无序对{a, b}的意思:公式不保证 a<b, 但是保证不会给出对称重复解,即不会有两对不同的参数,一个给出(a, b), 另一个给出(b, a). 这点在Z(ω)中容易证明,但在Z中稍费周折。
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发表于 2010-4-6 01:12:17 | 显示全部楼层
一般说来,这个问题的提法是a*b=c2在c≤N内有多少本原解。a*b=c2是Z(ω)平面上中心在原点、半径为c的圆(范数的几何意义)。
所以问题就是要计算这个圆内有多少模为正整数的整点位于第一区,要求分量坐标互质。
从通解公式中c=u*v知,问题收缩到了半径为$\sqrt{N}$ 的圆内,要求圆内在第1区内Gcd(u,v)=1并且u≠-v(mod 3)的整点数(一半)。

我现在有点明白了,对于设计算法有重要意义的是通项公式,那个计数公式用处不大。基于计数公式的算法涉及因子分解和素数表,效率肯定不会高。
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发表于 2010-4-7 00:34:41 | 显示全部楼层
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发表于 2010-4-7 16:03:19 | 显示全部楼层
9# mathe
我相信mathe给的通解如果补全了约束条件,通过某种参数转换,与hujunhua的一定等效
wayne 发表于 2010-4-3 22:40

Mathe的公式略有问题,要做通解公式需要做些处理。
Mathe的通解公式.JPG
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 楼主| 发表于 2010-4-7 17:09:53 | 显示全部楼层
神奇~~
原来二者之间是这样等效的,
我原先推导了一会,
没发现等效性就放弃了
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发表于 2011-7-28 20:33:24 | 显示全部楼层
好吧,我先学习下
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