凸函数问题

mathe

通过推广链接由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问中的一个问题，我们有问题,请问是否对于任意s>0都有隐函数
$(xy)^s=(x+y)^s+1,x>0,y>0$是一个凸函数
或者如果我们将后面的常数1改成一个常数c>0呢，即
$(xy)^s=(x+y)^s+c$是否还是凸函数

mathe

关于这个题目的Pari/gp代码以及对应的作图

1. 
   
2. sxy(x,y,s)=
   
3. {
   
4.    (x*y)^s-(x+y)^s-1
   
5. }
   
6. 
   
7. sy(x,s)=
   
8. {
   
9.    local(e);
   
10.    e=s;
    
11.    while( sxy(x,e,s)<0, e=2*e);
    
12.    solve(y=1,e,sxy(x,y,s))
    
13. }

复制代码

ploth(x=1.01,3,sy(x,1.5))


ploth(x=1.1,1.5,sy(x,0.5))


ploth(x=1.4,1.6,sy(x,0.1))

mathe

用暴力法让计算机计算隐函数y关于x的二阶导数，除掉分母一个完全平方数以外，得到
${(xy)^s(y+x)^(2s)((s^3-s^2)y^2-2s^3xy+(s^3-s^2)x^2)+(xy)^(2s)(y+x)^s((3s^2-s^3)y^2+(2s^3+2s^2)xy+(3s^2-s^3)x^2)+(xy)^(3s)(-2s^2y^2-4s^2xy-2s^2x^2)}/{(y+x)^s(x^2y^3+x^3y^2)+(xy)^s(-x^2y^3-2x^3y^2-x^4y)}$

mathe

由于$(xy)^s=(x+y)^s+c,x>0,y>0$,所以$(xy)^s>(x+y)^s,xy>x+y$,于是得到$(x-1)(y-1)>1$,由此，我们得到${(x>1),(y>1):}$.而$xy>x+y$也是一个很重要的结论。
现在我们分析4#中的分母，很显然
$(y+x)^s(x^2y^3+x^3y^2)+(xy)^s(-x^2y^3-2x^3y^2-x^4y)<(xy)^s(x^2y^3+x^3y^2-x^2y^3-2x^3y^2-x^4y)=-(xy)^s*(x^3y^2+x^4y)<0$,也就是4#的分母总是负数。
而分子可以分成几个部分
$-(xy)^s(y+x)^ss^3(x-y)^2((xy)^s-(y+x)^s)$加上
$s^2(xy)^s(y+x)^s(x^2+y^2)*((xy)^s-(x+y)^s)$加上
$-2s^2(xy)^{2s}(x^2+xy+y^2)((xy)^s-(x+y)^s)$加上
$-2s^2(xy)^{3s}xy$
其中只有第二项是正的，而且绝对值小于第三项，所以总和总是小于0.
也就是对于s>0,函数总是凸的

wayne

俺算的二阶导数跟mathe的不一样，
${y (x y)^s (x + y) (2 (x y)^(2 s) (x + y)^2 + (x y)^s (x + y)^s ((-3 + s) x^2 - 2 (1 + s) x y + (-3 + s) y^2) + (x + y)^(2 s) (-(-1 + s) x^2 + 2 s x y - (-1 + s) y^2))}/{x^2 ((x y)^s (x + y) - y (x + y)^s)^3}$


我是这么算的，不知错在哪
设 $f=(x y)^s - (x + y)^s - 1$
那么，$g={dy}/{dx} =-{f'_x}/{f'_y}$
然后，二阶导数即是
${dg}/{dx} ={\del g}/{del x}+{\del g}/{del y}*g$

mathe

不一定不一样，可能只是看上去不一样（而且还有一个约束条件$x^sy^s=(x+y)^s+1$），还要注意我计算出来不是二阶导数的最后形式，而是扔掉了一个完全平方。
我的做法是
$g={dy}/{dx}=-{f'_x}/{f'_y}$
${dg}/{dx}=-{(f''_xx+f''_xy*g)f'_y-(f''_xy+f''_yy*g)f'_x)}/{f'^2_y}$
然后分母$f'^2_y$被我扔了

wayne

我当时就是根据约束关系比较分母才发现不一致的，既然思路一致就不管了，呵呵，太繁杂，懒得算了。

wayne

把约束代进去，消去 (xy)^s 项，，扔掉恒为正的分母，扔掉分子的正项，然后化简，最终得到一个待研究的式子：
$2 c^2 (x + y)^2 + 2 x y (x + y)^(2 s) + c (x + y)^s ((1 + s) x^2 +2 (3 - s) x y + (1 + s) y^2)$

而 $(1 + s) x^2 +2 (3 - s) x y + (1 + s)y^2=x^2 + 6 x y + y^2 + s (x-y)^2)$

所以，c>0,s>0时，函数总是凸的

wayne

补充一下完整二阶导数的表达：
$(y (x y)^s (x + y) (2 c^2 (x + y)^2 + 2 x y (x + y)^(2 s) + c (x + y)^ s ((1 + s) x^2 + 2 (3 - s) x y + (1 + s) y^2)))/(x^2 (c (x + y) + x (x + y)^s)^3)$


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附带我的一个发现，俺叫凹函数的地方mathe叫的是凸函数，网上查了，也是乱成一团~~