凸函数问题

mathe

二阶导数大于0的是凸函数，相当于开口向上的抛物线

mathe

上面的证明方法基本上都不具有可读性。现在找到了一个方法，相对要简单很多:
首先，定义$F(x,y)=(xy)^s-(x+y)^s-1$,那么
${dy}/{dx}=-{{del F}/{del x}}/{{del F}/{del y}}=-{x^{s-1}y^s-(x+y)^{s-1}}/{x^sy^{s-1}-(x+y)^{s-1}}$
由于$(xy)^s=(x+y)^s+1$,上面表达式可以分子分母同时乘上$x+y$然后简化为
性质0.${dy}/{dx}=-{1+x^{s-1}y^{s+1}}/{1+x^{s+1}y^{s-1}}=-{(xy)^{-s}+y/x}/{(xy)^(-s)+x/y}$
于是我们得到
性质1. ${dy}/{dx}<0$,或者说y关于x单调减

又由于${d(y+x)}/{dx}=1+{dy}/{dx}={x/y-y/x}/{(xy)^(-s)+x/y}$
于是我们得到
性质2. 在$x>=y$时,$y+x$关于$x$单调增，在$x<=y$时，$y+x$关于$x$单调减
而我们又知道曲线上$x=y$的点是唯一存在的（也就是$x^{2s}-2^sx^s-1=0$的解），所以$y+x$是先减后增，而曲线上$x=y$的点是临界点

又由于$(xy)^s=(x+y)^s+1$,也就是$xy$随着$x+y$的增加而单调增加，根据性质2，我们得到
性质3. 在$x>=y$时,$xy$关于$x$单调增，在$x<=y$时,$xy$关于$x$单调减

性质4.如果$A>0$,那么函数${t-1/t}/{A+t}$在$t>0$严格增
这个是由${t-1/t}/{A+t}=1-A/{A+t}-1/{t(A+t)}$得到

性质5,如果$A(t)>0$是关于t的减函数，那么${t-1/t}/{A(t)+t}$在$t>=1$严格增；
如果$A(t)>0$是关于t的增函数，那么${t-1/t}/{A(t)+t}$在$0<t<=1$严格增。
这个有性质4马上可以推导出来

根据性质0,
${dy}/{dx}=-1+{x/y-y/x}/{(xy)^(-s)+x/y}$
于是结合性质3和性质5我们可以得出${dy}/{dx}$关于x严格增，所以${d^2y}/{dx^2}>0$,函数凸。

wayne

11# mathe

很乱，我从小到大一直都是记着，开口向上为凹

wayne

wikipedia也站在mathe这一边，
不应该，我怎么会弄错了呢，我经历过高考，大学，怎么就没察觉出来呢

mathe

11# mathe

很乱，我从小到大一直都是记着，开口向上为凹
wayne 发表于 2010-7-15 09:14

呵呵，我刚开始学分析的时候也总是弄错，看上去开口向上的才是凹吗

wayne

15# mathe
这应该不是弄不弄错的问题，我的数学老师，还有考试试卷，肯定都是凹的

wayne

我经历过那么多的考试，如果察觉了，肯定早改过来了。
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我是俯视着看函数图像的，mathe等应该是仰视着看吧，.....

wayne

不知道我对“凸”这个词是否理解错了：

如果观察对象 “向我这一边侵犯空间”，则是凸的，远离我则是凹的

wayne

呵呵，有一个很形象的证据可以支撑我的“观察方式”是“对”的。
请君仔细看看凸这个字的形状：
凸

wayne

看来“凸”这个概念很主观。

数学里有凸这个词真是糟糕透了