关于三角形的几个问题

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已知三角形三边长分别为a,b,c,且P点为三角形平面上的一点,求分别满足条件的P点位置.
(1)若三角形PAB,PAC,PBC的周长相等.
(2)若三角形PAB,PAC,PBC的内切圆半径相等.
(3)若三角形PAB,PAC,PBC的外接圆半径相等.

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注 P为三角形ABC平面上的一点
   即P可以为三角形边上或者外部或者内部

BC_souhait

对于第一个问题：
PA+PC+AC=PA+PB+AB=PB+PC+BC
可得：
PC-PB=AB-AC (1)
PA-PC=BC-AB (2)
(1)(2)分别代表一条单支双曲线，两条双曲线的交点为P点

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我们先讨论P在三角形内部的情形  (一般的符号表示见4#图形,三角形ABC的面积记为S)

(1)若三角形PAB,PAC,PBC的周长相等(记为L)

      则:    $x+y+c=L$

             $x+z+b=L$
            
             $y+z+a=L$   
           
             $x^2+y^2-2xycos(alpha+beta)=c^2$

             $x^2+z^2-2xzcos(beta)=b^2$

             $y^2+z^2-2yzcos(alpha)=a^2$

      消元得到 ($L$为下列方程的正实根)

     \((-b+a-c)^2(b+a-c)^2(-b+a+c)^2+2(b+a-c)(-b+a-c)(-b+a+c)(b^2-2ab-2cb+a^2-2ac+c^2)L+(-4a^3c+4cb^2a-4ab^3+5a^4-2a^2c^2+5c^4-4a^3b+5b^4+4a^2bc-4cb^3-2c^2b^2-2b^2a^2-4ac^3-4c^3b+4ac^2b)L^2=0\)
         
且        $x=1/2(L-(b+c-a))$
                     
          $y=1/2(L-(a+c-b))$

          $z=1/2(L-(a+b-c))$

若记$a=b_1+c_1,b=a_1+c_1,c=a_1+b_1$

则可化简结论:

    \((-2a_1^2c_1b_1-2b_1c_1^2a_1-2b_1^2c_1a_1+b_1^2c_1^2+a_1^2c_1^2+b_1^2a_1^2)L^2+4a_1b_1c_1(b_1c_1+b_1a_1+c_1a_1)L+4a_1^2c_1^2b_1^2=0\)  

且$x=1/2(L-a_1),y=1/2(L-b_1),z=1/2(L-c_1)$

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还有一种最简单的求法：见http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 05&fromuid=1455

ABC平面上任一点P成立： \( (-a^2+y^2+z^2)^2x^2+(-b^2+x^2+z^2)^2y^2+(-c^2+x^2+y^2)^2z^2-(-a^2+y^2+z^2)(-b^2+x^2+z^2)(-c^2+x^2+y^2)-4x^2y^2z^2＝0\)

又由于\(a+y+z=b+x+z=c+x+y=L\),代入计算可以得到上面的结果

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(2)若三角形PAB,PAC,PBC的内切圆半径相等(记为r)
     则:  $x^2+y^2-2*x*y*cos(alpha+beta)=c^2$
             $x^2+z^2-2*x*z*cos(beta)=b^2$
             $y^2+z^2-2*y*z*cos(alpha)=a^2$
             $ r*(2(x+y+z)+a+b+c)=2S$
             $xysin(alpha+beta)=r(x+y+c)$
             $xzsin(beta)=r(x+z+b)$
             $yzsin(alpha)=r(y+z+a)$
注:$4*S=sqrt(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4)$

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(3)若三角形\(PAB,PAC,PBC\)的外接圆半径相等.(记为\(R\))   
         
            则:   $x^2+y^2-2xycos(alpha+beta)=c^2$

                    $x^2+z^2-2xzcos(beta)=b^2$

                    $y^2+z^2-2yzcos(alpha)=a^2$

                     $a/sin(alpha)=b/sin(beta)=c/sin(alpha+beta)=2R$

                     $ ayz+bxz+cxy=4RS$

           注:$4*S=sqrt(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4)$

hujunhua

这个P点就是△ABC的垂心H。R就等于△ABC的外径。
△PBC,△PCA,△PAB的外心O1, O2, O3构成△ABC的中心反演三角形，以H为外心，以△ABC的外心为垂心。
也就是说，△ABC与△O1O2O3是外心与垂心互易的，故两者的反演对称中心在外心与垂心连线的中心。

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由垂心(设为$H$)的性质知:   $angle(AHC)=180^circ- angle(B)$  
有  $b/sin(angle(AHC))=b/sin(B)=2R$
同理有: $ c/sin(angle(AHB))=a/sin(angle(BHC))=2R$
即$H$点满足题设中的$P$点

hujunhua

问题3用平面几何的方法还简单明了些。8#所说的反演中心即是著名的九点圆的圆心。

问题2，那个P点在内心附近，但不是内心。内心所分的三个三角形的内切圆一般并不相等，但是极为接近，不论三角形的形状变化有多大。