预测一个数列的极限

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-9-16 16:16:16

本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-9-16 17:03 编辑

首先我们看$A$数列：

既然$A$数列有极限，我们对$A$数列相邻两项作差，得到如下图所示的极限为$0$的数列：

既然这个数列的极限为$0$，我们就可以考察它趋近于$0$的速度。

考察结果显示，它大概以$O(n^-2.75)$的速度趋近于$0$。

于是把它每一项都变成原来的$-1/2.75$次方，得到$B$数列：

$B$数列看起来像一条直线，与我们预期的结果相符。

我们继续对$B$数列相邻两项作差，得到常数数列$C$：

但$C$数列第$2$项异常，于是删去前$2$项：

我们发现第$2$项还是异常，于是再删去前$2$项：

这样看起来就正常了。

我们对$C$数列相邻两项作差，会得到极限为$0$的数列：

既然这个数列的极限为$0$，我们就可以考察它趋近于$0$的速度。

考察结果显示，它大概以$O(n^-2.712)$的速度趋近于$0$。

于是把它每一项都变成原来的$-1/2.712$次方，得到$D$数列：

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-9-16 16:35:54

本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-9-16 17:07 编辑

$D$数列末端看起来像一条直线，与我们的预期结果相符。

于是我们继续对$D$数列相邻两项作差，得到常数数列$E$：

继续对常数数列$E$相邻两项作差，得到极限为$0$的数列：

我们发现这个极限为$0$的数列前两项异常，于是删去前两项：

这样看起来就正常了。

既然这个数列的极限为$0$，我们就可以考察它趋近于$0$的速度。

考察结果显示，它大概以$O(n^-3.853369)$的速度趋近于$0$。

于是把它每一项都变成原来的$-1/3.853369$次方，得到数列$F$：

数列$F$看起来像一条直线，与我们的预期结果相符。

经验告诉我们，越往后的数据越有说服力，所以我们仅取数列$F$的最后$4$项：

拟合结果：标准差为$0.00000001$，相关系数为$1.00000000$

表达式为：$y=a+bx$

误差图：

$F$数列的拟合工作到此结束。

接下来从$F$开始往回还原，$E$，$D$，$C$，$B$，最终得到完整的$A$数列，极限为$0.59274596$

Fans不知道此方法的准确程度，希望wayne等大牛帮忙给出置信区间和最终极限的误差范围。

Fans在此感谢大家。

wayne · 发表于 2010-9-17 12:26:38

22# KeyTo9_Fans

Fans在折我阳寿啊，
1、emath这个龙虎之地，都是一等一的高手，大牛，我只是虾兵蟹将。
2、我本来有工作在身，再加备战考研，最近几天又是数学建模，我，我痛苦啊。

wayne · 发表于 2010-9-17 12:40:39

22# KeyTo9_Fans
你这个软件应该可以在拟合的同时给出置信区间的，confidence

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-9-17 18:11:45

就是因为没有，所以Fans才出于无奈，寻求帮助的。

covariance是协方差。

祝wayne的工作和考研备战一切顺利！

mathe · 发表于 2010-9-17 18:21:11

方差自己计算一下吧。
现在你已经有每个点的实际值$(x_i,y_i)$以及拟合值$(x_i,y'_i)$
可以计算出均方差为$sqrt{{\sum_{i=1}^k(y_i-y'_i)^2}/k}$

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-9-17 19:12:36

这个估计在模型没有误差的情况下有效。

在前期，指数的选取也是有误差的。

这个误差不好估计。

不知道能不能做两次不同的拟合，一次作为数列极限的上界，一次作为数列极限的下界。

wayne · 发表于 2010-9-17 20:00:52

27# KeyTo9_Fans
刚才试用了这个软件，还真是没有。
这个软件貌似没有什么特色，却还是收费的，不可思议。

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感觉我们这个题还是用插值来做比较恰当，我们该回头看看水牛大牛在18楼的帖子

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-10-4 10:09:47

突然发现$20$楼的程序有个地方写错了：

第$61$行和第$62$行应该去掉：

复制代码

因为前面并没有用到$g$数组。

这里相当于错误地把$f$数组所有的元素飘移了一位。

所以这两行代码应该去掉。

修正后的结果如下：

复制代码

极限应为$0.592746048$。

与第$1$次的结果：

$0.592746063$

很接近。

说明这种作差——乘幂——作差的方法是有一定的合理性的。

Buffalo · 发表于 2010-11-9 11:20:17

29# KeyTo9_Fans

由于你这个数列的渐进形式可能是$A+\sum \frac{C_k}{n^{k+a}}$，其中a大约是0.75，针对这个情况把18楼的方法改进一下，效果还是很好的。

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