数列的通项公式

Buffalo

求满足$a_n a_{n-1}=a_{n-2}^2+1$的正数列$a_n$的通项公式。或者至少证明$\lim \frac{a_n}{a_{n-2}^3}=1$

mathe

应该可以证明存在充分大的k使得$a_{k+1}<a_k$,也就是数列不能总是单调递增的。
此后，可以证明在这以后数列在摆动，而且摆动越来越大。
另外一方面可以得出
${a_{n+2}}/{a_n^3} = {a_n^2+1}/ {a_n^2+(1+a_{n-2}^2)^2}$
于是我们还需要证明对于数列的交叉项，一个趋向0（递减），一个迅速递增（大于2次方速度

wayne

$a_n/a_{n-2}^3 = {1+1/a_{n-2}^2}/{1+a_{n-3}^2}$

原式子等价于下面的乘积：
$a_n= {(1+a_{n-2}^2)(1+a_{n-4}^2)(1+a_{n-6}^2)...}/{(1+a_{n-3}^2)(1+a_{n-5}^2)(1+a_{n-7}^2)...}$

wayne

由于是二阶差分方程，故上面是交错的。
要么趋于无穷，要么趋于0

mathe

好像有可能存在单调增数列$a_n$满足条件，而对于这样的数列,现在我得出的条件是
${2n}/3+1/18ln(n)+c_1<=a_n^2<={2n}/3+1/18ln(n)+c_2$
当然对于这样的数列，楼主的极限是不成立的。显然$lim_{n->infty}{a_n}/{a_{n-1}}=1$,而楼主的极限为0.
当然，这个数列是极其不稳定的，只要对任意一项加以稍微干扰，马上就会变成满足楼主条件的数列

wayne

$a_n a_{n-1}=a_{n-2}^2+1$    (1)
$a_n/a_{n-2} = {1+a_{n-2}^2}/{1+a_{n-3}^2}$ (2)

1、如果$a_n<a_{n-2}$ ,那么 ，$a_n^2<a_{n-2}^2<a_{n-2}^2+1=a_na_{n-1}$ ,即$a_n<a_{n-1}$ ,代入式子2得，$a_{n+2}<a_{n}$
2、如果$a_n>a_{n-2}$ ,那么 ，由式子2得，$a_{n-2}<a_{n-3}$ ，进而由式子1得，$a_{n-2}>a_{n-4}$

wayne

设$a_1=a ,a_2=b;$
则，$a_3 - a_1 = {1 + a^2}/{b} - a = {1 + a^2- ab}/b$
$a_4 - a_2 = {1 + b^2}/{1 + a^2}b - b = \frac{b^2 - a^2}{1 + a^2}b$
$a_5 - a_3 = {(1 + a^2)^3 + (1 + a^2)b^2}/{b^3 + b^5} - {1 + a^2}/{b} = {(1 + a^2)(1 + a^2 + b^2)(1 + a^2 - b^2)}/{b^3(1 + b^2)}$
当b<a时，$a_4<a_2$ ,所以，就有$a_2>a_4>a_6>a_8>.......$
当$a^2<b^2<1+a^2$， 待继续讨论
当$ab<1+a^2<b^2$，有$a_3>a_5>a_7>.......$
当$1+a^2<ab$  ，有$a_1>a_3>a_5>.......$

wayne

当存在  $a_n<a_{n-2}$ 时，$a_{n-1}={1+a_{n-2}^2}/a_n >a_{n-2}+1/a_{n-2}$
对于序列$ a_n,a_{n-2},a_{n-4},a_{n-6},......$ 单调递减，且有下界0，所以极限存在。如果该极限是0，那么序列$ a_{n-1},a_{n-3},a_{n-5},a_{n-7},......$将趋于无穷

mathe

主要是单调增的情况不好分析（是否存在是一个问题）

wayne

9# mathe
试试看下面的发现是否有用：
容易得知， $a_{n-1} <a_n<\sqrt{1+a_{n-1}^2}$,继续推倒
$a_{n-1} <a_n<\sqrt{1+a_{n-1}^2}<a_{n-1}+1/{2a_{n-1}}$
即，$a_n a_{n-1}<a_{n-1}^2+1/2$
也即是 $a_{n-1}^2-a_{n-2}^2> 1/2$  恒成立