数列的通项公式

Buffalo

求满足$a_n a_{n-1}=a_{n-2}^2+1$的正数列$a_n$的通项公式。或者至少证明$\lim \frac{a_n}{a_{n-2}^3}=1$

mathe

应该可以证明存在充分大的k使得$a_{k+1}

wayne

$a_n/a_{n-2}^3 = {1+1/a_{n-2}^2}/{1+a_{n-3}^2}$ 原式子等价于下面的乘积： $a_n= {(1+a_{n-2}^2)(1+a_{n-4}^2)(1+a_{n-6}^2)...}/{(1+a_{n-3}^2)(1+a_{n-5}^2)(1+a_{n-7}^2)...}$

wayne

由于是二阶差分方程，故上面是交错的。 要么趋于无穷，要么趋于0

mathe

好像有可能存在单调增数列$a_n$满足条件，而对于这样的数列,现在我得出的条件是 ${2n}/3+1/18ln(n)+c_1<=a_n^2<={2n}/3+1/18ln(n)+c_2$ 当然对于这样的数列，楼主的极限是不成立的。显然$lim_{n->infty}{a_n}/{a_{n-1}}=1$,而楼主的极限为0. 当然，这个数列是极其不稳定的，只要对任意一项加以稍微干扰，马上就会变成满足楼主条件的数列

wayne

$a_n a_{n-1}=a_{n-2}^2+1$ (1) $a_n/a_{n-2} = {1+a_{n-2}^2}/{1+a_{n-3}^2}$ (2) 1、如果$a_na_{n-2}$ ,那么 ，由式子2得，$a_{n-2}a_{n-4}$

wayne

设$a_1=a ,a_2=b;$ 则，$a_3 - a_1 = {1 + a^2}/{b} - a = {1 + a^2- ab}/b$ $a_4 - a_2 = {1 + b^2}/{1 + a^2}b - b = \frac{b^2 - a^2}{1 + a^2}b$ $a_5 - a_3 = {(1 + a^2)^3 + (1 + a^2)b^2}/{b^3 + b^5} - {1 + a^2}/{b} = {(1 + a^2)(1 + a^2 + b^2)(1 + a^2 - b^2)}/{b^3(1 + b^2)}$ 当ba_4>a_6>a_8>.......$ 当$a^2a_5>a_7>.......$ 当$1+a^2a_3>a_5>.......$

wayne

当存在 $a_na_{n-2}+1/a_{n-2}$ 对于序列$ a_n,a_{n-2},a_{n-4},a_{n-6},......$ 单调递减，且有下界0，所以极限存在。如果该极限是0，那么序列$ a_{n-1},a_{n-3},a_{n-5},a_{n-7},......$将趋于无穷

mathe

主要是单调增的情况不好分析（是否存在是一个问题）

wayne

9# mathe 试试看下面的发现是否有用： 容易得知， $a_{n-1} 1/2$ 恒成立