数列的通项公式

mathe

上面表达式肯定不对。我们知道$lim_{n->infty}b_{n+1}-b_n=2/3$,也就是必然有$lim_{x->infty}f(x)-x=2/3$,但是上面展开式缺乏$2/3$这一项

Buffalo

上面表达式肯定不对。我们知道$lim_{n->infty}b_{n+1}-b_n=2/3$,也就是必然有$lim_{x->infty}f(x)-x=2/3$,但是上面展开式缺乏$2/3$这一项
mathe 发表于 2010-9-11 11:28

两个概念。这里给出的是原始数列，平方之后才是你这里说的$b_n$

wayne

按mathe的方式来，
猜想：
数列$b_n$, 有递推关系 $b_n*b_{n-1}=(1+b_{n-2})^2$ ，该数列单调递增的条件是

初始值$b_1=a ,b_2 =b$ ，存在函数关系： b=f(a),并有$ f(f(x))=(1+x)^2/{f(x)}$

wayne

40# Buffalo
呵呵，能不能稍微解释一下

Buffalo

40# Buffalo
呵呵，能不能稍微解释一下
wayne 发表于 2010-9-11 14:10

假设$f(x)~x+\sum_{i=0}^{\infty}\lambda_i x^{-i}$，代入函数方程$f(f(x))f(x)=x^2+1$，并把方程两边在$x=\infty$附近展开成$\frac{1}{x}$的幂级数，要求各阶系数为零即可得到系数$\lambda_i$。
但是非常有可能这里得到的只是一个渐近展开。不管怎么样，用来计算那个临界值还是没问题的。

此外关于给定这种临界值之后的数列$b_n=a_n^2$的渐近表达式也可用类似办法得出，$b_n~\frac{2}{3}n+\frac{1}{18}\ln n+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{P_i(\ln n)}{n^i}$，这里$P_i(t)$是$t$的某个$i$次多项式，有意思的是这个渐近表达式似乎是唯一确定的，也就是说初值对$b_n=a_n^2$的影响小于任意$(\frac{\ln n}{n})^i$。

mathe

这个展开计算还是比较麻烦的，你用的啥工具？特别是$b_n$的形式比较难估计。
而对于$b_n$,表达形式应该是$b_n=2/3n+1/18ln(n)+c+\sum_{i=1}^{infty}{P_i(ln(n))}/{n^i}$，这里n不必是自然数
而我们总可以通过平移（假设$b'_n=b_{n+c}$）然后将c正好消去

wayne

45# Buffalo
，没仔细看，看来我的猜想在你这都已经是显然的了

wayne

46# mathe
确实有点繁琐，我目前还不能编出一个完整的程序来计算那个级数。
不知道f(f(x))这种类型的函数方程是否有 系统的解法

Buffalo

这个展开计算还是比较麻烦的，你用的啥工具？特别是$b_n$的形式比较难估计。
而对于$b_n$,表达形式应该是$b_n=2/3n+1/18ln(n)+c+\sum_{i=1}^{infty}{P_i(ln(n))}/{n^i}$，这里n不必是自然数
而我们总可以通过平移（ ...
mathe 发表于 2010-9-11 15:51

确实弄错了，$b_n$的渐近表达式里允许有一个任意常数$c$，$b_n~\frac{2}{3}n+\frac{1}{18}\ln n +c+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{P_i (\ln n,c)}{n^i}=\frac{2}{3}n+\frac{1}{18}\ln n +\sum_{i=1}^{\infty}\frac{p_i (\ln n)}{n^i}+c(1+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{q_i (\ln n, c)}{n^i})$，含$c$的部分代表初值对渐近形式的影响。
计算找能作符号计算的软件，如mathematica。具体形式做多了也不难猜出来。

Buffalo

通过简单的平移不能把渐近式中的所有含$c$部分消掉。