数列的通项公式

mathe

我可以得到$lim_{n->infty}a_n^2-a_{n-1}^2=2/3$

mathe

假设存在满足条件的$a_n$单调非减 那么我们首先知道 $a_n^2>=a_na_{n-1}=a_{n-2}^2+1>=a_{n-1}^2$ 由此递推得到关系 $c_1+n/2<=a_n^2<=c_2+n$ ~ (1) 我们记$b_n=a_n^2$,于是我们知道 $c_1+n/2<=b_n<=c_2+n,b_{n+2}>=b_n+1,b_{n+1}<=b_n+1$ 而且 $b_nb_{n-1}=(b_{n-2}+1)^2$ 设$d_n=b_n-b_{n-1}$,于是$0<=d_n<=1$ $(b_{n-1}+d_n)b_{n-1}=(b_{n-1}+1-d_{n-1})^2$ 于是 $(d_n+2d_{n-1}-2)b_{n-1}=(1-d_{n-1})^2>=0$ (2) 所以$d_n+2d_{n-1}-2>=0$ (3) 即 $1>=d_n>=2(1-d_{n-1})$ $d_{n-1}>=1/2$ (4) 或者说我们得到一个更加强一些的关系$b_{n+1}>=b_n+1/2$ 于是我们知道$1/2+b_n<=b_{n+1}<=1+b_n$ 由于我们还得到$lim_{n->infty}b_n=infty$ 所以根据(2),对于任意e>0,对于充分大的n,有 $0infty}d_n=2/3$ 或者说$lim_{n->infty}b_n-b_{n-1}=2/3$

wayne

11# mathe 我落后好大一截啊

wayne

14# wayne 不该用不等式，用了不等式就没法求极限了： $\sqrt{b_{n}b_{n-1}}=b_{n-2}+1$ 继续变换： $({b_n-b_{n-1}}/{\sqrt{b_n}+\sqrt{b_{n-1}}})^2=b_n+b_{n-1}-2b_{n-2}-2$ 设$c_n=b_n-b_{n-1}$ 则有： $(\sqrt{b_n}+\sqrt{b_{n-1}})^2 ={c_n^2}/{c_n+2c_{n-1}-2}$ 这个时候，就好说了 我们知道： $1/2

mathe

$c_n+2c_{n-1}-2->0$还不能推导出极限$c_n$存在

wayne

15# mathe 呵呵，想偷懒都不成。

mathe

假设$a_n$单调增，我们还能够得出 $lim_{n->infty}{b_n-{2n}/3}/{ln(n)}=1/18$ 我们任意选择充分接近2/3的实数$p_1,p_2$使得$p_1<2/3

mathe

加强: $b_n={2n}/3+{ln(n)}/18+O({ln^2(n)}/n)$

wayne

18# mathe 太神奇了。 能否构造出一个递增的实例，好像很难构造出来

mathe

18#的结果已经可以用来证明递增情况不存在了