数列的通项公式

mathe

我可以得到$lim_{n->infty}a_n^2-a_{n-1}^2=2/3$

mathe

假设存在满足条件的$a_n$单调非减
那么我们首先知道
$a_n^2>=a_na_{n-1}=a_{n-2}^2+1>=a_{n-1}^2$
由此递推得到关系
$c_1+n/2<=a_n^2<=c_2+n$  ~ (1)
我们记$b_n=a_n^2$,于是我们知道
$c_1+n/2<=b_n<=c_2+n,b_{n+2}>=b_n+1,b_{n+1}<=b_n+1$
而且
$b_nb_{n-1}=(b_{n-2}+1)^2$
设$d_n=b_n-b_{n-1}$,于是$0<=d_n<=1$
$(b_{n-1}+d_n)b_{n-1}=(b_{n-1}+1-d_{n-1})^2$
于是
$(d_n+2d_{n-1}-2)b_{n-1}=(1-d_{n-1})^2>=0$ (2)
所以$d_n+2d_{n-1}-2>=0$  (3)
即
$1>=d_n>=2(1-d_{n-1})$
$d_{n-1}>=1/2$  (4)
或者说我们得到一个更加强一些的关系$b_{n+1}>=b_n+1/2$
于是我们知道$1/2+b_n<=b_{n+1}<=1+b_n$
由于我们还得到$lim_{n->infty}b_n=infty$
所以根据(2),对于任意e>0,对于充分大的n,有
$0<d_n+2d_{n-1}-2<e$
于是
$0<d_n+2d_{n-1}-2<e$
$-2e<-2d_{n-1}-4d_{n-2}+4<0$
$0<4d_{n-2}+8d_{n-3}-8<4e$
$-8e<-8d_{n-3}-16d_{n-4}+16<0$
...
$-2^{2k+1}e<-2^{2k+1}d_{n-2k-1}-2^{2k+2}d_{n-2k-2}+2^{2k+2}<0$
上面2k+2式相加得到
$g(k)*e<d_n-2^{2k+2} d_{n-2k-2}+2/3(2^{2k+2}-1)<h(k)*e$
由于e可以任意取，对于给定的k,我们可以取充分小的e使得|h(k)*e|<1,|g(k)*e|<1
于是我们得到对于充分大的n有
$ 2/3-5/3*2^{-2k-2}<d_{n-2k-2}<2/3+4/3*2^{-2k-2}$
由此我们得到$lim_{n->infty}d_n=2/3$
或者说$lim_{n->infty}b_n-b_{n-1}=2/3$

wayne

11# mathe

我落后好大一截啊

wayne

14# wayne
不该用不等式，用了不等式就没法求极限了：
$\sqrt{b_{n}b_{n-1}}=b_{n-2}+1$
继续变换：
$({b_n-b_{n-1}}/{\sqrt{b_n}+\sqrt{b_{n-1}}})^2=b_n+b_{n-1}-2b_{n-2}-2$
设$c_n=b_n-b_{n-1}$
则有：
$(\sqrt{b_n}+\sqrt{b_{n-1}})^2 ={c_n^2}/{c_n+2c_{n-1}-2}$
这个时候，就好说了
我们知道： $1/2<c_n<1$ ,$b_n$ 趋于无穷大。
所以，只能是$c_n+2c_{n-1}-2$趋于0 了，于是 $c_n$的极限是2/3。

mathe

$c_n+2c_{n-1}-2->0$还不能推导出极限$c_n$存在

wayne

15# mathe
呵呵，想偷懒都不成。

mathe

假设$a_n$单调增，我们还能够得出
$lim_{n->infty}{b_n-{2n}/3}/{ln(n)}=1/18$
我们任意选择充分接近2/3的实数$p_1,p_2$使得$p_1<2/3<p_2$,以及任意接近1/9的实数$q_1,q_2$使得$q_1<1/9<q_2$
于是对于充分大的n,必然有$p_1n<b_n<p_2n,q_1<(1-d_{n-1})^2<q_2$
由公式(2),我们知道
$d_n+2d_{n-1}-2={(1-d_{n-1})^2}/{b_{n-1}}$
我们对上面的公式前有限项累加，得出
$r_1+q_1\sum_{t=1}^n1/{p_2n}<3b_n-2n<r_2+q_2\sum_{t=1}^n1/{p_1n}$
于是得出
$r_3+{q_1}/{3p_2}ln(n)<b_n-{2n}/3<r_4+{q_2}/{3p_1}ln(n)$
于是我们知道${b_n-{2n}/3}/{ln(n)}$的上极限不大于${q_2}/{3p_1}$,下极限不小于${q_1}/{3p_2}$
由其中$p_1,p_2,q_1,q_2$选择的任意性，得出这个极限为1/18.

mathe

加强:
$b_n={2n}/3+{ln(n)}/18+O({ln^2(n)}/n)$

wayne

18# mathe
太神奇了。

能否构造出一个递增的实例，好像很难构造出来

mathe

18#的结果已经可以用来证明递增情况不存在了