关于论坛中一个问题的思考

liexi20101117

曾经不知是在哪个版块看到，求解$1^2+2^2+3^2+...+n^2=m^2$，满足条件的（N，M），好像第一个解是（24，70），第二个解还未知，不知是否有人找到了呀
我的问题是，那个题目是求平方和，有可能有组解满足M=N+1吗？
若X次方和，有可能有组解满足M=N+1吗？

liexi20101117

http://bbs.emath.ac.cn/thread-1225-1-5.html
是这个地址中老师们的深度分析让我有了上面的疑问与好奇呀。

liexi20101117

难道只有个$3^2+4^2=5^2$满足我上面的问题吗？

northwolves

$\sum_{n=1}^24n^2=70^2$
$\sum_{n=3}^4n^2=5^2$
$\sum_{n=3}^580n^2=8075^2$
$\sum_{n=3}^963n^2=17267^2$
$\sum_{n=7}^29n^2=92^2$
$\sum_{n=7}^39n^2=143^2$
$\sum_{n=7}^56n^2=245^2$
$\sum_{n=7}^190n^2=1518^2$
$\sum_{n=9}^32n^2=106^2$
$\sum_{n=13}^108n^2=652^2$
$\sum_{n=15}^111n^2=679^2$
$\sum_{n=15}^326n^2=3406^2$
$\sum_{n=17}^39n^2=138^2$
$\sum_{n=18}^28n^2=77^2$
$\sum_{n=20}^21n^2=29^2$
$\sum_{n=20}^43n^2=158^2$
$\sum_{n=20}^308n^2=3128^2$
$\sum_{n=21}^116n^2=724^2$
$\sum_{n=22}^80n^2=413^2$
$\sum_{n=25}^48n^2=182^2$
$\sum_{n=25}^50n^2=195^2$
$\sum_{n=25}^73n^2=357^2$
$\sum_{n=25}^578n^2=8033^2$
$\sum_{n=25}^624n^2=9010^2$
$\sum_{n=27}^59n^2=253^2$
$\sum_{n=27}^364n^2=4017^2$
$\sum_{n=28}^77n^2=385^2$
$\sum_{n=28}^123n^2=788^2$
$\sum_{n=30}^198n^2=1612^2$
$\sum_{n=32}^609n^2=8687^2$
$\sum_{n=38}^48n^2=143^2$
$\sum_{n=38}^96n^2=531^2$
$\sum_{n=38}^349n^2=3770^2$
$\sum_{n=38}^686n^2=10384^2$
$\sum_{n=44}^67n^2=274^2$
$\sum_{n=44}^93n^2=495^2$
$\sum_{n=50}^171n^2=1281^2$
$\sum_{n=52}^147n^2=1012^2$
$\sum_{n=52}^389n^2=4433^2$
$\sum_{n=60}^92n^2=440^2$
$\sum_{n=64}^305n^2=3069^2$
$\sum_{n=65}^282n^2=2725^2$
$\sum_{n=65}^928n^2=16332^2$
$\sum_{n=67}^116n^2=655^2$
$\sum_{n=73}^194n^2=1525^2$
$\sum_{n=76}^99n^2=430^2$
$\sum_{n=83}^276n^2=2619^2$
$\sum_{n=87}^136n^2=795^2$
$\sum_{n=91}^332n^2=3465^2$
$\sum_{n=104}^967n^2=17364^2$
$\sum_{n=106}^402n^2=4620^2$
$\sum_{n=112}^305n^2=3007^2$
$\sum_{n=117}^789n^2=12787^2$
$\sum_{n=119}^120n^2=169^2$
$\sum_{n=121}^144n^2=650^2$
$\sum_{n=124}^173n^2=1055^2$
$\sum_{n=131}^852n^2=14345^2$
$\sum_{n=132}^430n^2=5083^2$
$\sum_{n=137}^232n^2=1828^2$
$\sum_{n=140}^428n^2=5032^2$
$\sum_{n=168}^217n^2=1365^2$
$\sum_{n=168}^466n^2=5681^2$
$\sum_{n=170}^466n^2=5676^2$
$\sum_{n=172}^710n^2=10857^2$
$\sum_{n=175}^512n^2=6565^2$
$\sum_{n=178}^361n^2=3726^2$
$\sum_{n=181}^213n^2=1133^2$
$\sum_{n=183}^589n^2=8140^2$
$\sum_{n=192}^279n^2=2222^2$
$\sum_{n=193}^288n^2=2372^2$
$\sum_{n=197}^220n^2=1022^2$
$\sum_{n=197}^949n^2=16817^2$
$\sum_{n=199}^487n^2=6001^2$
$\sum_{n=204}^925n^2=16169^2$
$\sum_{n=210}^585n^2=7990^2$
$\sum_{n=214}^752n^2=11781^2$
$\sum_{n=216}^311n^2=2596^2$
$\sum_{n=216}^553n^2=7293^2$
$\sum_{n=225}^298n^2=2257^2$
$\sum_{n=225}^312n^2=2530^2$
$\sum_{n=225}^631n^2=8954^2$
$\sum_{n=227}^259n^2=1397^2$
$\sum_{n=234}^1194n^2=23746^2$
$\sum_{n=244}^364n^2=3366^2$
$\sum_{n=248}^343n^2=2908^2$
$\sum_{n=253}^806n^2=13019^2$
$\sum_{n=255}^783n^2=12443^2$
$\sum_{n=255}^976n^2=17461^2$
$\sum_{n=258}^906n^2=15576^2$
$\sum_{n=280}^631n^2=8756^2$
$\sum_{n=287}^336n^2=2205^2$
$\sum_{n=287}^575n^2=7463^2$
$\sum_{n=294}^367n^2=2849^2$
$\sum_{n=301}^326n^2=1599^2$
$\sum_{n=301}^925n^2=15975^2$
$\sum_{n=302}^855n^2=14127^2$
$\sum_{n=304}^327n^2=1546^2$
$\sum_{n=304}^655n^2=9196^2$
$\sum_{n=309}^837n^2=13639^2$
$\sum_{n=322}^1019n^2=18497^2$
$\sum_{n=344}^1065n^2=19741^2$
$\sum_{n=353}^376n^2=1786^2$
$\sum_{n=358}^718n^2=10412^2$
$\sum_{n=377}^1074n^2=19893^2$
$\sum_{n=379}^428n^2=2855^2$
$\sum_{n=395}^972n^2=16915^2$
$\sum_{n=413}^1299n^2=26610^2$
$\sum_{n=433}^721n^2=9911^2$
$\sum_{n=442}^514n^2=4088^2$
$\sum_{n=443}^1010n^2=17750^2$
$\sum_{n=454}^479n^2=2379^2$
$\sum_{n=454}^1350n^2=28106^2$
$\sum_{n=456}^466n^2=1529^2$
$\sum_{n=456}^1033n^2=18343^2$
$\sum_{n=462}^1422n^2=30442^2$
$\sum_{n=475}^1361n^2=28384^2$

liexi20101117

northwolves 先生，真的很强呀，一口气给出这么多平方的解，可不知您是是要告诉我，除了第二个以外，没有我1楼所说的那种情况了呀。即M=N+1，那不知三次方，四次方……是否有我想知道的那种（N，M）呢。

liexi20101117

另外，您是以前就求出来那2楼的解呢，还是您针对我的问题，随手就用软件求出了一部分解呢。我想知道的是你用的什么软件或程序呀。能传份程序我吗。若您决得我的要求太无理，不用理我，只有回答我1楼的那个问题，是否有可能的解就可以了。谢谢您百忙中写下的那么多解让我见识了数学的无穷魅力
期待您或版主或其它高手们的解答与分析。

liexi20101117

我以前好像在哪看到过，N个数的K次方的和等于M个数的K次方的和，这个K有多个解都是满足的，不知有哪位能提供下那方面的资料呀。

mathe

你的问题很简单
$\sum_{k=i}^nk^2=(n+1)^2$
我们得到
$(n-1)^2+n^2<=(n+1)^2$
$n^2<=4n$
同样，对于K次方也一样，即使存在，也必然有限个，很容易穷举

liexi20101117

为什么是小于等于，如何得到这个不等式的呀。为什么是这样的一个不等式呢。恕我太直接太笨了点

liexi20101117

能不能写下您对于K次方问题的那个不等式呀。最好有关于它的分析过程，辛苦了管理员老师。