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楼主: mathe

[讨论] 概率计算问题

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发表于 2008-4-3 08:16:53 | 显示全部楼层
有极限就恐怖了 扔任意多硬币 若干次 最后只有一个正面或者反面的概率竟然存在极限 那要推翻很多东西的
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-4-5 10:30:56 | 显示全部楼层

再整理一下 :)

$f(n):=1+\sum C_n^i*(-1)^i*{i*2^(i-1)}/(2^(i)-1)$ 即f(n)是i*2^(i-1)/(2^i-1) 在牛顿级数展开意义下的反演

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 楼主| 发表于 2008-4-5 10:40:03 | 显示全部楼层
你这个说法有点看不懂,上面表达式也有点看不懂,(n)?(i)是什么?
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发表于 2008-4-5 11:06:00 | 显示全部楼层
应该是C(n,i),我是从maple copy的,就成这样了。 f(n)=1+ sgm(C(n,i)*(-1)^i*I2^(i-1)/(2^i-1)) 我不会你们公式的语法,过两天再学学 函数以多项式系数为基展开叫牛顿级数,如果两个函数,一个为另一个的系数乘(-1)^i,则互为反演(就如同墨比乌斯反演) 这个用maple求lim,求不出,估计是发散的,但感觉会在某些值间跳跃,我再查一下,应该可以证一下
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 楼主| 发表于 2008-4-5 11:22:54 | 显示全部楼层
是不是发散我现在还是分析不出,不过可以证明摆动的幅度会越来越小(至少不增) 我知道了,你的意思是说反演就是对于数列a(n) $b(n)=sum_{i=0}^n C_n^i (-1)^n a(n)$ 就是a(n)的反演了? 不过感觉定义挺奇怪,为什么要牵扯到二项式系数呢?而且这个只有对数列有效。这里到了函数,应该改用积分才行。
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 楼主| 发表于 2008-4-5 11:24:13 | 显示全部楼层
你那个结果上下标是什么,我试着合并过我的式子好像简化不了的
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发表于 2008-4-7 08:58:23 | 显示全部楼层
从你的公式也可以,最后那个,令n=m+2,先把项配齐,再令i=m-j,就可以了。 你的分析学的太好,所以多复杂的式子都干下手,我们可不行,所以你一开始的那个泰勒展开的,看着就晕。 熟悉组合的,一般搞惯了离散,积分都忘了,但可以用母函数 。 从一开始的那个方程,令p0=p1=1,就可以把求和的项补齐,然后,考虑指数母函数相乘的系数关系,可得p(n)的指数母函数方程:$P(2x)-P(x)*e^x+x*e^x=0$ (没带草稿,有点记不清),然后令G(x)= P(x)/e^x 再展开,比较系数就可以了。
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发表于 2008-4-7 09:29:13 | 显示全部楼层
忘了说: 下标1-n
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 楼主| 发表于 2008-4-7 09:31:34 | 显示全部楼层
算了一下,是可以化简,可以成为 $1+1/2 \sum_{k=1}^n {kC_n^k (-1)^k }/{1-2^{-k}}=1-n/2 \sum_{k=0}^{n-1} {C_{n-1}^k (-1)^k}/{1-2^{-k-1}}$ 好像同你上面贴的有点不同,是不是贴错了
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 楼主| 发表于 2008-4-7 09:37:56 | 显示全部楼层
两个式子相同,只是我写成$2^{-k}$,你的公式用了正指数
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