概率计算问题

shshsh_0510

考虑当n为偶数时，对于和式中的 i 与n-i两项之和，我算了一下，应该是恒大于0,
也就是说，p(n)按奇偶分别收敛

mathe

这个大于0没有什么用处了$0<=p(n)<=1$是不用证明的，由定义就可以知道。
要证明极限，需要证明对于不同的n,p(n)是单调的

shshsh_0510

恩,糊涂了，不太好算

shshsh_0510

令$f(n,i)=C(n,i)&#8901;(-1)^i&#8901;i&#8901;2^(i-1)/(2^i-1)$
g(n,i)=f(2n,n+i)-f(2n,n-i), 当n为偶数，f(n,i)与f(n,n-i)异号,可证g(n,i)>0,但对于给定i,g(n,i)对于n不是单调
i的含义为离中心的距离。
观察：h(n,i)=g(n+i , i )  , 给定i, 对n似乎单调
推了一下，似乎正确，但式子太大，不知是否真对，你们试一下吧。

shshsh_0510

又推了一下，果然有问题，还得重新考虑

shshsh_0510

$f(n)=1-n/2*\sum_{i=1}^{n}{2^{-i}*(1-2^{-i})^n} +O(2^(-n))$
其中诸负项的峰值在i = ln(n)/ln(2)处。当n趋近无穷时，此点值为$e^{-1}$
此函数在峰值附近左边以$e/{e^{1/2^k}*2^k}$的比率下降，右边以$e*2^k/{e^{2^k}}$的比率下降
所以，我相信其有极限

mathe

其实可以写成
$f(n)=1-n/2 \sum_{i=1}^infty 2^(-i) (1-2^(-i))^{n-1}$
我也一直觉得有非0极限。但是很难证明，而计算这个极限更加难。

shshsh_0510

又想了一下，应该是无极限。
虽然曲线是一个陡峰，并且两边下降速度都超过指数阶，且峰顶有极限。
但是，由于峰顶取整数，既峰顶为$max (f(floor(ln(n)/ln(2)),f(floor(ln(n)/ln(2))+1)$
就是说封顶在$e^-1$左右滑动，也就是说最大值可以有一个越$(e^-1)/2$的灵活范围，故函数应该是震荡的。

mathe

实际上计算结果没有这么大的振荡的。

shshsh_0510

当n很大时，其他误差可以被忽略，则整个值基本上就可以由最高的两个峰值来估计了，但是当n增大，峰值点滑动的周期也增大，用maple画一个floor(ln(n)/ln(2))-ln(n)/ln(2)的图，可以看到，一个500-1000是一个周期，而下一个是1000-4000 ；4000- 8000...逐渐增大