解答一道周期函数方程

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r(t)是平面轨迹，周期为3a，且满足
$r(t)+r(t+a)+r(t+2a)=0$
（这里的r是复函数）

各位能否求出满足上述条件的函数？并找出规律？

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我发现一个很奇怪的现象：
当a=1时，wolframalpha得到：
$r(t) = c_1 e^{-2/3 i \pi t}+c_2 e^{2/3 i \pi t}$
当a=2时，得到
$r(t) = c_1 e^{-2/3 i \pi t}+c_2 e^{1/3 i \pi t}+c_3 e^{-1/3 i \pi t}+c_4 e^{2/3 i \pi t}$
当a=1.5时，得到
$r(t) = c_1 e^{-4/9 i \pi t}+c_2 e^{4/9 i \pi t}$
当a=1.1时，罢工。

很奇怪，为什么参数$c_i$的个数会随着a的变化而变化的？请大家解释一下？

mathe

这说明软件对这个题目处理的不好。
我们可以通过傅立叶级数来解决这个题目，由于周期为3a,可以使用周期3a展开成傅立叶级数
然后乘上$exp(-{2i pi t}/{nT})$积分，于是可以得出如果某一项系数$c_n$不是零的条件

hujunhua

出于几何直觉，规律应该是: r(t)是方程的解，当且仅当|r(t)|的周期是a.

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这说明软件对这个题目处理的不好。
我们可以通过傅立叶级数来解决这个题目，由于周期为3a,可以使用周期3a展开成傅立叶级数
然后乘上$exp(-{2i pi t}/{nT})$积分，于是可以得出如果某一项系数$c_n$不是零的条件
mathe 发表于 2011-1-24 07:58

可是问题在于，从物理的角度来讲，3a作为时间周期，时间的单位是任意选取的，通过设置一定的单位还可以使得a=1或a=2等等，结果不能因时间单位而异（出现$c_n$的不同）吧？

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出于几何直觉，规律应该是: r(t)是方程的解，当且仅当|r(t)|的周期是a.
hujunhua 发表于 2011-1-24 08:53

这个直觉有哪些根据呢？

mathe

可是问题在于，从物理的角度来讲，3a作为时间周期，时间的单位是任意选取的，通过设置一定的单位还可以使得a=1或a=2等等，结果不能因时间单位而异（出现$c_n$的不同）吧？
282842712474 发表于 2011-1-24 09:16

是的，所以我说软件错了。

mathe

由傅立叶分析得知，只要r(t)分段连续，那么必然可以展开成傅立叶级数，可以设
$r(t)=\sum_{n=-infty}^{+infty}c_n exp({2i pi nt}/{3a})$
于是
$0=\int_0^{3a} (r(t)+r(t+a)+r(t+2a))exp(-{2i pi mt}/{3a})dt$
$=\sum_{n=-infty}^{+infty}c_n\int_0^{3a} exp({2i pi nt}/{3a} - {2i pi mt}/{3a})(1+exp({2i pi na}/{3a}) + exp({4i pi na}/{3a}))dt$
$=c_m(1+exp({2m i pi }/{3})+exp({4m i pi }/{3}))$
于是我们得知$exp{2m i pi}/{3}$满足方程$1+x+x^2=0$,即它是三次单位根
所以m是3的倍数时$c_m=0$

mathe

于是我们知道只有$c_1$和$c_-1$非零,即
$r(t)=c_1 exp({2i pi t}/{3a})+c_-1 exp(-{2i pi t}/{3a})$

mathe

如果(r,t)看成极坐标，的确是圆锥曲线，不过不只一条，因为还有两个参数$c_1,c_-1$