解答一道周期函数方程

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$c_n$可以为复数吗？ 8#的处理方法有一般性吗？

hujunhua

貌似mathe的解与我的几何直觉有出入。按直觉，r(t)=ρ(t)exp(iωt). 其中ρ(t)是一个周期为a的任意实函数，ω=2π/3a.

mathe

是我将傅立叶级数弄错了,其中所有n在分子而不在分母: http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html 于是解出来就是要求n是3的倍数,这样就同hujunhua的结果完全一致了

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是我将傅立叶级数弄错了,其中所有n在分子而不在分母: http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html 于是解出来就是要求n是3的倍数,这样就同hujunhua的结果完全一致了 mathe 发表于 2011-1-24 16:13

怪不得看起来怪怪的，mathe修改一下吧

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$=\sum_{n=-infty}^{+infty}c_n\int_0^{3a} exp({2i pi n t}/{3a} - {2i pi m t}/{3a })(1+exp({2i pi n a}/{3a}) + exp({4i pi n a}/{3a }))dt$ $=c_m(1+exp({2i m pi }/{3})+exp({4i m pi }/{3}))$

修改正确应该如上？ 我先请问下这一步如何得来？（主要是引用中第二个等号） 还有，这里恰好能够解得m为整数，要是出现m为非整数呢？

mathe

就是$\int_0^{3a} exp({(2i pi t)h}/{3a})dt$其中h是整数仅在h为0时积分非0，这个利用了exp函数的周期性（周期为$2i pi$），这是傅立叶级数的基础

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mathe我想问一下，既然exp是周期为$2i\pi$的函数，那么应该有$exp({2i pi }/{3})=exp({8i pi }/{3})$，因此方程$1+exp({2i m pi }/{3})+exp({4i m pi }/{3})=0$应该不止有$m=+-1$两个根吧？

mathe

是呀，所以是hujunhua的解

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是我将傅立叶级数弄错了,其中所有n在分子而不在分母: http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html 于是解出来就是要求n是3的倍数,这样就同hujunhua的结果完全一致了 mathe 发表于 2011-1-24 16:13

n不是3的倍数，而是$3k+-1$的形式，k是整数

mathe

是的,所以答案应该是$\r_1(t)exp(i\omega t)+\r_2(t)exp(-i\omega t)$,其中$\r_1,\r_2$周期为a