又一道不等式难题

wayne

用Mathematica算了一下，求三组偏导方程组成的方程组，也刚好验证了上面的说法：
{0.`, 1.`, 1.`}, {1.`, 0.`, 1.`}, {1.`, 1.`, 0.`},
{0.6475295549105754`,0.6475295549105754`, 0.6475295549105754`},
{0.7607562310598163`, 0.5912257283318331`, 0.5912257283318433`},
{0.5912257283318332`, 0.5912257283318332`, 0.760756231059816`},
{0.5912257283318332`, 0.760756231059816`, 0.5912257283318332`}

mathe

上面的条件不好判断。用我9#的方法可以将问题化为证明
已知$a+b+c=2$求证$a^2+b^2+c^2+{2sqrt(2)abc}/{sqrt(a^2+b^2+c^2)}>=2$
其中a,b,c中如果存在负数，很容易证明，于是只需要讨论$a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,a^2+b^2+c^2<2$时的情况。

wayne

10# wayne
猜想： 如果f是关于 x₁,x₂,x₃,.....x_n的轮换对称的函数， 那么f 取极值的情况 可以用某种方式表述出来，

wayne

12# mathe
mathe真会倒腾！
：
陈计的一道代数不等式
http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... omuid=1067#pid30058

tian27546

嗯 像这些不等式 一般是几个为0 取得等号 但是针对这个不等式 我想很难一般化处理好来  以前处理过一个类似题 但是就是用到一些技巧

tian27546

以前处理过一道这样的题 看看有什么好想法没

mathe

我们可以先证明对于非负数a,b,c，如果
$a^2+b^2+c^2=2$那么必然有
$2abc+1>=ab+bc+ca$
这个我们可以假设$b+c=u$,于是$a^2+u^2=2+2bc$
得到要求证明$(a-1/2)(a^2+u^2-2)+1-au>=0$
所以对于$a>1/2$时，上面左边是u的二次多项式，所以只有在$u=a/{2a-1}$或边界条件时取到最小值
也就是对于$a>1/2$,那么$2abc+1-ab-bc-ca$取最小值时，必然$b+c=a/{2a-1}$或$b=c$或b和c有一个是0.而对于$0<=a<=1/2$,那么显然最小值在边界取道.
然后容易计算得证

mathe

对于12#的不等式中a,b,c都非负的情况，我们通过将a,b,c同时乘上常数使得$a^2+b^2+c^2=2$于是就变化成17#的问题

tian27546

对于非齐次的不能这样转化啊  管理员

mathe

12#右边2改成${(a+b+c)^2}/2$即可