计算百万位e

无心人

就是说
如果逐渐逼近一个整数的对数值
用精度高的数字的对数好
还是无所谓？

仙剑魔

就算查表
但是表的精度是固定死的
不能动态改动呀
我一直想找到完美的解决方案
用简单的步骤能够尽快计算出结果

gxqcn

我在想，下面的泰勒展开式：$e^x=\sum_{n=0}^\infty( x^n/n! )\quad(|x|<+\infty)$
当x比较大时，是否依然高效实用？

仙剑魔

数学上是成立的
但是计算上不适用
最大项是n=[x]或[x]+1,然后向2边递减
我觉得至少找到一种能够得到所需精度的方法

liangbch

就算法上，e^x 更容易实现，不论是造对数表还是求一个比较小的x的e^x.
至于精度损失，我我的方法始终用的 底数是e， 对对于10^n, 由于n是整数，也不会有精度损失的，另外对于
对数和指数计算，本来就是浮点数，和进制无关，一般情况下也不会取整为一个整数。

无心人

对73#，我想应该要求$ |x| <= 1$

liangbch

回72楼:


  这个我早就想到了，这个对数表是不需要存储精确值的。

下面是这个算法的一些具体实现：

就查表算法而言：
求 $e^x$ 的对数的过程其实就是求这样一个序列：
  $n_1, n_2, n_3, n_4...n_k, $ (这几个数的对数分别是 $m_1,m_2,m_3,m_4,..m_k$）, 使得
  $x=m_1+ m_2+m_3+m_4+...m_k+ r$,r为不大于指定的值的余项。
   在查表过程中，我们并不需要知道 $m_k$ 的准确值，只需一个精度很小的值就可以了，需要精确到多少位和余项的最大值有关，如余项要求小于$10^{-32}$, 则这个对数表中中对数值要至少精确到32为有效数字。 同时在这个对数表中，对每一个$n_k$,都要存储他的质数分解式，$12/5=2^2*3^1*5^-1$. 等这个序列确定了，再求$ m_1+m_2+m_3+... m_k$的精确值和余项r的精确值。由于$m_k$可以表示为几个小质数的线性表达式，只要这个小质数的对数足够精确， $m_1+ m_2+m_3+..m_k$亦可足够精确。
  现在只有一个问题，如何求小质数的对数。对此，可有2个方法。
  1. 事先计算出这些小质数的对数，并精度到足够多的有效数字。在计算时，将其值从文件载入，需要多少位就载入多少位。
  2.实时求值，程序启动后，预先求出这几个小质数的对数，并精确到预定精度，如果在计算过程，有更高的精度需要，再重新计算到更高的精度。使用好的算法，求解小质数的对数并不困难，其求解速度应该比求同样精度的e更快。

gxqcn

原帖由 无心人 于 2008-12-15 19:42 发表
对73#，我想应该要求$ |x|<= 1$  

就公式来说，没有该限定。
但就计算来说，可能在 $ |x|<= 1$ 时收敛才较快，理由见 74# 仙剑魔 的帖子。

我原本想将指数小数点后转成二进制，而后逐级开方再相乘，但感觉效率非常低下。

liangbch 的算法是比较高效的。

mathe

计算$e^x$,我们可以将x的二进制指数部分和尾数部分分开（计算机内部表示是二进制，所以这个拆分很简单），假设
$x=a*2^b$,其中$1/2<=|a|<=1$
那么$e^x=(e^a)^{2^b}$
所以可以先计算$e^a$,然后连续平方b次

gxqcn

上述算法比较可行，后面的平方只要保留到指定精度即可，
而 $e^a$ 的计算就可用 liangbch 的算法。