可表示为连续正整数平方和的四次方数

northwolves

1. m = {13, 295, 330, 364, 1085, 5005, 6305, 15516, 415151,  1990368};
   
2. n = {2, 177, 352, 1536, 2401, 40898, 60625, 185761,  19512097, 47761921}; m^2/n

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$\{\frac{169}{2},\frac{1475}{3},\frac{2475}{8},\frac{8281}{96},\frac{24025}{49},\frac{1225}{2},\frac{16393}{25},1296,8833,82944\}$

northwolves

David A. Corneth: Attributing to Zhining as well. I used his formula from mathematica. Alternatively from A330(n) - A330(m) = k^4 we could factor out n-m on the LHS and multiply by 6 on both sides, go over some divisors of 6*k^4 and see if the system of equations has a solution. I suppose Zhining's solution is similar and just skipped the details on my solution.

David A. Corneth: To ease computation of divisors(12*m^4), construct from factor(12*m^4) which in turn can be constructed from factor(m) and factor(12).

数论爱好者

northwolves 发表于 2025-5-4 07:57
对于已有的前10个解：
m = {13, 295, 330, 364, 1085, 5005, 6305, 15516, 415151,  1990368};
n = {2, 17 ...

下列分析,仅供参考,不知对错
1. **共享质因数**：每个m和对应的n之间至少有一个共同的质因数，尤其是较大的质因数。

2. **高次幂结构**：n中的共同质因数通常以平方或更高次幂出现，特别是当该质数较大时。

3. **质数平方关联**：当m包含较大的质数p时，对应的n往往包含p²。

4. **组合模式**：当m由多个质数组成时，n可能选取其中一个或多个质数的高次幂组合，可能引入新的质因数。
1. 共享质因数关系
每个m和对应的n之间至少共享一个质因数，且该质因数在n中通常以更高幂次出现：

例1：m=295=5×59 → n=177=3×59（共享59）

例2：m=6305=5×13×97 → n=60625=5⁴×97（共享5和97）

例3：m=415151=11²×47×73 → n=19512097=11²×47²×73（共享11²、47、73）
2. 大质数平方规律
当m包含较大质数p时，对应的n中常包含p²：

例1：m=15516=2²×3²×431 → n=185761=431²

例2：m=1990368=2⁵×3²×6911 → n=47761921=6911²
3. 高次幂组合特征
n的质因数分解中，常包含m中质数的高次幂组合：

例1：m=5005=5×7×11×13 → n=40898=2×11²×13²（11²和13²）

例2：m=1085=5×7×31 → n=2401=7⁴（7⁴）
4. 结构模式分类
根据分解形式，可归纳为以下两类：

(1) 单一质数平方型
m包含质数p → n=p²

m=15516（含431）→ n=431²

m=1990368（含6911）→ n=6911²

(2) 混合幂次组合型
m含多个质数 → n选取部分质数的高次幂组合

m=5005=5×7×11×13 → n=2×11²×13²

m=415151=11²×47×73 → n=11²×47²×73

5. 数学意义
这些规律暗示该问题可能对应某种数论方程的特殊解结构，例如：

连续平方和问题可能转化为佩尔方程或其变体

解的形式与二次域中的单位数或代数数论结构相关

共享质因数可能对应同余条件或因子分解约束

6. 应用价值
利用这些规律可优化搜索算法：

预筛选候选m：优先选择含较大质数或特定质数组合的m值

预测n的结构：根据m的质因数快速生成候选n值

分布式计算优化：针对不同质数类型分割搜索范围

wayne

wayne 发表于 2025-5-3 23:21
1) 你说的不快，是啥意思，是你改进了Mathematica代码吗，改进的地方在哪，
还是你用2010年发布的 Mathemat ...

用rust实现了一遍，完全一样的代码，跑m<10^8以内，大概用了20分钟，跑m<10^9以内，大概用了2小时。

1. 1: 2,(0,1)
   
2. 13: 2,(119,120)
   
3. 26: 169,(-66,102)
   
4. 33: 242,(-116,125)
   
5. 295: 177,(6453,6629)
   
6. 330: 352,(5628,5979)
   
7. 364: 1536,(2584,4119)
   
8. 1085: 2401,(22815,25215)
   
9. 5005: 40898,(102855,143752)
   
10. 5546: 163607,(-22205,141401)
    
11. 5682: 230121,(-104266,125854)
    
12. 6305: 60625,(130189,190813)
    
13. 6538: 218089,(-42602,175486)
    
14. 15516: 185761,(463116,648876)
    
15. 415151: 19512097,(28852809,48364905)
    
16. 1990368: 47761921,(549179184,596941104)
    
17. 3538366: 1170329056,(-444457089,725871966)
    
18. 34011252: 1224370081,(32444862444,33669232524)
    
19. 42016497: 7957888849,(15677038563,23634927411)
    
20. 79565281: 10842382346,(55295566081,66137948426)
    
21. 139107722: 11474926944,(174877814828,186352741771)
    
22. 175761059: 208152552417,(-72866423455,135286128961)
    
23. 254801664: 12230369281,(580937232576,593167601856)
    
24. 418093065: 190412616875,(301592669864,492005286738)
    
25. 667378972: 497818686976,(365777063316,863595750291)
    
26. 1214995500: 72899460001,(5430989520300,5503888980300)
    
27. 3609736702,1384334025217,(10375285703460,11759619728676)
    
28. 4353556896,313455536641,(33696409723056,34009865259696)
    

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wayne

wayne 发表于 2025-5-4 08:37
计算了一下，发现只有$\frac{12m^4}{n}$是整数，而$\frac{m}{n}，\frac{m^2}{n}，\frac{m^3}{n}，\frac{m ...

确实如northwolves所言。 6m^4/n 都是整数。这个也很好证明，因为$m^4 = \sum _{i=a}^b i^2 = \frac{1}{6} (-a+b+1) \left(2 a^2+2 a b-a+2 b^2+b\right)，  -a+b+1=n$

wayne

10^10，花了一晚上的功夫跑完，难以置信，只有一个答案。

1. 1214995500: 72899460001,(5430989520300,5503888980300)
   

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wayne

对于10^10,我可能需要重新跑一下, 因为我故意忽略了超过64位的因子.  但是有可能存在大于64位整数范围的n, 使得m小于64位整数.
比如10^9的范围内的 m=667378972, n=497818686976的情况, m只有9位,但是n就已经有16位了. 而64位整数最大是19位整数,18446744073709551613, 挨的很近.

理论上,对于m是64位整数的情况,n需要搜索256位数整数.  为了保证$6m^4$不超出128位整数,m<IntegerPart[(2^128/6)^(1/4)] = 2744239736= 2.7*10^9

wayne

用256位整数保存中间结果，防止128位数的溢出(m>2.7*10^9的时候出现)，然后重新跑10^10，捡到漏了

1. 3609736702,1384334025217,22134905432136,(10375285703460,11759619728676)
   
2. 4353556896,313455536641,67706274982752,(33696409723056,34009865259696)
   

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wayne

我发现.咱们可以直面这个四次方程 $12 m^4-3 n q^2=n^3-n$, 对于给定的n, 用sagemath发现,总是 等价于有理域上的椭圆曲线$y^2 = x^3 + 432n^3(n^2-1)x$. 现在我却不知道这二者之间的变换关系.
=========
不知道sagemath是怎么转换的. 双有理变换我也试过了,好像不太对劲.要解方程$f(t) = -12 t^4 - n + n^3=0$. 具体过程如下:
$m \to\frac{a x+b}{c x+d},q \to \frac{y (a d-b c)}{(c x+d)^2$得到$x^4 \left(-12 a^4+c^4 n^3-c^4 n\right)+x^3 \left(-48 a^3 b+4 c^3 d n^3-4 c^3 d n\right)+x^2 \left(-72 a^2 b^2+6 c^2 d^2 n^3-6 c^2 d^2 n\right)+y^2 \left(3 a^2 d^2 n-6 a b c d n+3 b^2 c^2 n\right)+x \left(-48 a b^3+4 c d^3 n^3-4 c d^3 n\right)-12 b^4+d^4 n^3-d^4 n=0$
令$f(\frac{a}{c}) = -12 (\frac{a}{c})^4 - n + n^3=0$,也即是$f(t) = -12 t^4 - n + n^3=0$ 这就陷入死胡同了.

从这个帖子得知，四次曲线转化成 Weierstrass 的形式的前提是有一个有理点。而f(t)不存在有理点。https://ask.sagemath.org/questio ... -and-standard-form/
所以需要转化成Jacobian 的形式。https://mathoverflow.net/questio ... rtic-elliptic-curve

数论爱好者

wayne 发表于 2025-5-8 21:15
我发现.咱们可以直面这个四次方程 $12 m^4-3 n q^2=n^3-n$, 对于给定的n, 用sagemath发现,总是 有理域上的 ...

对此问题,我一窍不通,交给软件去解决,下面这两个答案,必有一个是错的