可表示为连续正整数平方和的四次方数

wayne

mathe 发表于 2025-5-2 10:13
你怎么证明n=176,178等无解呢？

因为先不说四次方, 就算是平方的时候, 刚好 n=176,178 都没解, 也就是pell方程 $m^2-n q^2=\frac{1}{3} (n^3-n)$无解. https://oeis.org/A134419

nyy

如果是立方数等于连续整数的平方和，这个结果是怎么样的？

wayne

用maple的辅助，对于方程 $m^2-n q^2=\frac{1}{3} (n^3-n)$在$n$为平方数的情况下，得到所有解的参数表达${n\to t^2,m\to \frac{t \left(3 s^2+t^4-1\right)}{6 s},q\to \frac{3 s^2-t^4+1}{6 s}}$
当n不为平方数的时候，也存在参数解，$\{m\to \frac{x (s^2+n)-2 n s y}{s^2-n},q\to \frac{y (s^2+n)-2 s x}{s^2-n}\}$， 其中${x,y}$是方程$x^2-n y^2=\frac{1}{3} (n^3-n)$的整数解。
让$s\to\frac{a}{b}$,得到，$(m,q)=(\frac{a^2 x-2 a b n y+b^2 n x}{a^2-b^2 n},\frac{a^2 y-2 a b x+b^2 n y}{a^2-b^2 n})$

1. with(algcurves);
   
2. arr := [2, 11, 23, 24, 26, 33, 47, 50, 52, 59, 73, 74, 88, 96, 97, 107, 122, 146, 148, 177, 184, 191, 193, 194, 218, 239, 241, 242, 244, 249, 276, 292, 297, 299];
   
3. map(n -> {op(parametrization(a^2 - n*b^2 - 1/3*n^3 + 1/3*n, a, b, s)), n}, arr);
   

复制代码

wayne

wayne 发表于 2025-5-8 21:15
我发现.咱们可以直面这个四次方程 $12 m^4-3 n q^2=n^3-n$, 对于给定的n, 用sagemath发现,总是 等价于有理 ...

方程$12 m^4-3 n q^2=n^3-n$，给定$n$,得知其亏格为 1 ， j-不变量为 1728，那么等价于椭圆曲线$y^2=x^3+Ax$，要找出其双有理变换转化成Weierstrass 形式，需要在K域有一个有理数的点，也就是$f_4(x)=12 x^4-(n^3-n)=0$，而这个显然失效了。 https://mathoverflow.net/questio ... rtic-elliptic-curve
所以，咱们唯一的依靠就是转化成其Jacobian形式。

现在$12 m^4-3 n q^2=n^3-n$ 转化成Jacobian形式的椭圆曲线表达式是 $y^2 = x^3+\frac{16}{3} \left(n^5-n^3\right) x$, Jacobian坐标是$(X,Y,Z)=(\frac{1}{3} (-16) (n-1) n^4 (n+1) x^2 y,\frac{1}{9} (-16) (n-1) n^4 (n+1) x (n^3-n+12 x^4),-n^3 y^3)$
其中双有理变换表达式是$x=\frac{16 m^2 \left(n^3-n\right)}{3 q^2}, y =\frac{16 m n \left(n^3-n\right) \left(2 n^2+3 q^2-2\right)}{9 q^3}$

https://www.hyperelliptic.org/EFD/oldefd/quartic.html

1. Block[{n=242},{Factor[4 m^4+1/3 (n-n^3)-n q^2],Factor[-y^2+x^3+16/3 (n^5-n^3)*x/.Thread[{x,y}->{(16 m^2 (n^3-n))/(3 q^2),(16 m  n (n^3 - n) (-2 + 2 n^2 + 3 q^2))/(9 q^3)}]]}]

复制代码

wayne

https://oeis.org/A383359
https://oeis.org/A383367
https://oeis.org/A383653
https://oeis.org/A383654

nyy

如果是5次方，表达成连续整数的平方和，
结果怎么样？
6次方呢？
7次方的？