百度数学吧中一个未解不等式

shshsh_0510

只涉及点线的抽象概念，不涉及距离，当然是射影几何了

无心人

那为什么不是拓扑？

mathe

现在重新计算了一下，发现n=4的时候用数学分析的确是挺简单的。
对于n=4,也就是已知
$A_1+A_2+A_3+A_4=1$
求
$G(A_1,A_2,A_3,A_4)=A_1A_2A_3+A_2A_3A_4+A_3A_4A_1+A_4A_1A_2$
$=A_1A_2A_3+A_2A_3A_4+A_3A_4A_1+A_4A_1A_2-c(A_1+A_2+A_3+A_4-1)$

的最大值,使用带约束条件的拉格朗日法，要求
${\del G}/{\del A_1} = A_2A_3+A_3A_4+A_4A_2-c=0$
${\del G}/{\del A_2} = A_1A_3+A_3A_4+A_4A_1-c=0$
${\del G}/{\del A_3} = A_1A_2+A_2A_4+A_4A_1-c=0$
${\del G}/{\del A_4} = A_2A_3+A_3A_1+A_1A_2-c=0$
所以如果不在边界上去极值（也就是$A_1,A_2,A_3,A_4$都不是0）
我们根据前面两条方程可以得出$A_1=A_2$,同样我们可以得出其余各项相同。
所以如果不在边界上取极值，只能$A_1=A_2=A_3=A_4=1/4$,这时对应$G=1/16$
如果在边界上，那么$A_1,A_2,A_3,A_4$至少有一个数为$0$,不妨设$A_4=0$,
这时显然$G=A_1A_2A_3<=1/27$(在$A_1=A_2=A_3=1/3$时取到最大值)
所以综上所述，$f(4)=1/16$

mathe

先把我关于$n>=7$的证明过程贴出来。
类似$n=4$的证明过程，我们分成边界和非边界两种情况分析。
首先，如果有一个极值点不在区域的边界上，这时
$A_1,A_2,...,A_n$都是严格大于0，而且我们使用拉格朗日法对$A_t$求微分得到
$A_{t-2}A_{t-1}+A_{t-1}A_{t+1}+A_{t+1}A_{t+2}=C$, $1<=t<=n$                           (1)
其中$A_{-1}$定义为$A_{n-1}$,$A_0$定义为$A_{n}$
现在假设有这么个极值点，那么同样记$G(A_1,A_2,...,A_n)=sum_{t=1}^n A_tA_{t+1}A_{t+2}$
我们在(1)式两边同时乘上$A_t$然后对所有的t相加得到
$3G(A_1,A_2,...,A_n)=C$
也就是这个极值等于$C/3$
我们再次对(1)式所有t的情况直接相加,得到
$2sum_{t=1}^n A_tA_{t+1}+sum_{t=1}^nA_tA_{t+2}=n*C$                                   (2)
于是我们可以知道这个极值的取值不超过
${max{2 sum_{t=1}^n A_tA_{t+1}+ sum_{t=1}^nA_tA_{t+2}}}/{3n}$                     (3)

mathe

现在我们计算一下
$sum_{t=1}^n A_tA_{t+1}$的最大值
容易证明它的最大值是$1/4$,
同样$sum_{t=1}^n A_t A_{t+2}$的最大值也是$1/4$
所以我们可以知道
${max{2 sum_{t=1}^n A_tA_{t+1}+ sum_{t=1}^nA_tA_{t+2}}}/{3n}<={2/4+1/4}/{3n}=1/{4n}$
在$n>=7$时上式小于$1/27$.所以我们知道在$n>=7$时，区域内部的极大值点取值小于$1/27$

mathe

而对于边界情况，我们不妨设$A_1>0,A_n=0$
假设$A_1,A_2,...,A_n$中，最后一个不为0的数是$A_k$
那么我们得到
$G=sum_{t=1}^{k-4) A_tA_{t+1}A_{t+2} + A_{k-3}A_{k-2}A_{k-1}+A_{k-2}A_{k-1}A_k$
    $=sum_{t=1}^{k-4}A_tA_{t+1}A_{t+2} + (A_{k-3}+A_k) A_(k-2} A_{k-1}$
  然后我们构造一个新序列$A_1,A_2,...,A_{k-4},A_{k-3}+A_k,A_{k-2},A_{k-1},0,0,...,0$
我们知道这个新序列和还是1,但是新的G值不会小于原先旧的G值。
通过这个方法我们知道，边界上的最大值必然可以在k=3的情况取到，这时
$G=A_1A_2A_3,\quadA_1+A_2+A_3=1$
这时G的最大值显然是$1/27$
所以我们证明了对于$n>=7,f(n)=1/27$

mathe

需要说明的是16#中的证明对于所有n都是成立的，也就是对于所有的n,边界上的最大取值都是$1/27$
所以对于$n=5$和$n=6$,我们只需要分析区域内部的极值点就可以了。
一种可行的方法是通过数值计算算出区域内部所有极值点（也就是对于n=5和6求14#中方程组(1)再加上条件
$A_1+A_2+...+A_n=1$）

mathe

另外一种可能可行的方法是直接计算$2 sum_{t=1}^n A_tA_{t+1}+ sum_{t=1}^nA_tA_{t+2}$的最大值。
这个我们同样需要分析这个表达式所有区域内部的极值点和边界上的极值点。不过最好有人先数字计算一下其最大值。它应该能够解决$n=6$的情况，但是不知能否用来解决$n=5$的情况

mathe

如果对$H(A_1,A_2,...,A_n)=2 sum_{t=1}^n A_tA_{t+1}+ sum_{t=1}^nA_tA_{t+2}$的最大值进行分析，同样需要对区域内部和边界情况进行分析。
首先对于区域内部，同样使用拉格朗日法，得到方程组
$2A_{t-1}+2A_{t+1}+A_{t-2}+A_{t+2}=D$,其中D是常数。
由于这里把数列$A_t$看成一个周期为n的数列后，完全满足上面的递推式，
也就是必须上面的递推数列存在一个周期为n的解。
上面递推数列对应特征方程为$x^4+2x^3+2x+1=0$
或者可以写成$(x+1/x)^2+2(x+1/x)-2=0$
所以我们得到$x+1/x=-1+-sqrt(3)$
于是我们得到方程有两个负数的解$u_1,u_2$和两个共轭复数根$v_1,v_2$（绝对值为1），实部为${sqrt(3)-1}/2$
这里我们可以看出同那个无理角度问题联系起来了。
由上面链接中结果我们知道$v_1^n$和$v_2^n$都不是1。

mathe

现在我们可以有$A_t$的通项公式
$A_t=a_1 u_1^t+a_2 u_2^t+a_3v_1^t+a_4v_4^t+D/6$
而且$A_t$的周期为n
由[url=http://bbs.emath.ac.cn/thread-418-1-1.html]无理角度[/url]问题，我们知道
这时只能$A_t=D/6$也就是所有项相同.
也就是对于区域内部的极值点，只能所有$A_t$相等的时候取到，这时极值为$3/n$
而相对于14#公式(3)得出的一个极值上界为$1/n^2$,在$n=5$和$n=6$都满足猜想要求。
所以我们只需要继续检验对19#这个表达式的边界情况进行进一步分析了