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楼主: mathe

[转载] 百度数学吧中一个未解不等式

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 楼主| 发表于 2008-5-8 17:59:54 | 显示全部楼层
现在看看对于$n=5$分析一下边界情况会如何
我们总可以假设$A_5=0$
于是我们需要分析$2(A_1A_2+A_2A_3+A_3A_4)+A_1A_3+A_2A_4+A_4A_1$在$A_1+A_2+A_3+A_4=1$情况的最大值
同样需要分析边界和非边界两种情况,对于区域内部我们使用拉格朗日法可以得到方程
$[(0,2,1,1),(2,0,2,1),(1,2,0,2),(1,1,2,0)][(A_1),(A_2),(A_3),(A_4)]=[(c),(c),(c),(c)]$
这个方程的数值解为(1/6,1/3,1/3,1/6)
对应$2(A1A2+A2A3+A3A4)+A1A3+A2A4+A4A1=7/12$,折算回去得到$n=5$情况一个极值$7/180=1/25.7..$,正好小于$1/25$
而对于边界情况,我们再分两种情况$A_4=0$和$A_3=0$
$A_5=A_4=0$情况需要计算$2A_1A_2+2A_2A_3+A_1A_3$在$A_1+A_2+A_3=1$时的最大值
$A_5=A_3=0$情况需要计算$2A_1A_2+A_2A_4+A_4A_1$在$A_1+A_2+A_3=1$时的最大值
这些冗长的计算过程应该同前面过程差不多,谁计算一下?

注:关于这部分,可以直接查看[url=http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=438&page=5&fromuid=20#pid4708]#42[/url]的方法(对于n=5和n=6都适用),于是我们可以得到相对较简单一些的方法
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-5-8 18:27:07 | 显示全部楼层
现在对于20#那个想当然的结论证明一下(注:在没有证明“无理角度”问题时)
首先我们可以知道$k_1=u1^n,k_2=u2^n,k_3=v1^n,k_4=v2^n$四个复数互不相同(其中$u1^n,u2^n$是两个实数,绝对值分别大于和小于1,$v1^n,v2^n$是共轭复数,绝对值为1,而且不是实数)
将$A_0=A_n=A_{2n}=A_{3n}=A_{4n}$代入,得到
$[(1,1,1,1),(k_1,k_2,k_3,k_4),(k_1^2,k_2^2,k_3^2,k_4^2),(k_1^3,k_2^3,k_3^3,k_4^3),(k_1^4,k_2^4,k_3^4,k_4^4)][(a_1),(a_2),(a_3),(a_4)]=[(h),(h),(h),(h),(h)]$
其中$h=A_0-D/6$是常数
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 楼主| 发表于 2008-5-8 18:30:44 | 显示全部楼层
我们得到
$[(1,1,1,1),(k_1,k_2,k_3,k_4),(k_1^2,k_2^2,k_3^2,k_4^2),(k_1^3,k_2^3,k_3^3,k_4^3)][(x_1),(x_2),(x_3),(x_4)]=[(h),(h),(h),(h)]$
有两组解$(a_1,a_2,a_3,a_4)$和$(a_1k_1,a_2k_2,a_3k_3,a_4k_4)$
同范得蒙行列式可逆知道方程解唯一,所以必然$a_1=a_2=a_3=a_4=0$
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发表于 2008-5-8 20:32:23 | 显示全部楼层
1/4 1/4 1/4 1/8 1/8的结果是1/25.6
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 楼主| 发表于 2008-5-8 21:18:48 | 显示全部楼层
原帖由 无心人 于 2008-5-8 20:32 发表
1/4 1/4 1/4 1/8 1/8的结果是1/25.6

这个同我的结果不矛盾。21#给出的$A_5=0$情况的极值。对于所有5个都不是0的极值点,在20#,解出的极值是$1/25$
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 楼主| 发表于 2008-5-8 21:25:33 | 显示全部楼层
其实根据19#的定义。
我们如果能够证明对于n=5和n=6分别有
$H(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5)<=3/5$ (其中$A_1+A_2+A_3+A_4+A_5=1$
$H(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6)<=2/3$(其中$A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6=1$

那么就可以证明这个问题了。
而对于这两个不等式,都是二次型,用支持符号运算的数学软件应该直接可以计算出是不是不等式成立
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发表于 2008-5-8 22:35:11 | 显示全部楼层
这个是不是可以这样考虑:
5个点围成一圈,编号为12345,开始每个点分配权重1/5
假设最优权重为a1,a2,a3,a4,a5
试图通过一种途径,逐渐增大某点权重,减小另一点权重,直到到达最优
猜想:总有一种方式使这一过程中函数值单调增(感觉是,还不知如何证)
于是对于5个点,无妨设1的权重增,分别考虑2,3减的情况,函数都不可能增长,故最优就是平均情况
n>=6时,则可以,于是其它点的权重被逐渐吸收到3点
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 楼主| 发表于 2008-5-9 07:31:23 | 显示全部楼层
21#继续计算可以通过验证
最后余下两个边界情况计算分别可以得出结果不超过
4/7和1/2都不超过3/5,所以对于n=5情况得到证明
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 楼主| 发表于 2008-5-9 08:49:44 | 显示全部楼层
而n=6的时候比较复杂,好像对于边界的最大值正好同21#的相同(也就是取A6=A5=0时得到的最大值)
这时取值$7/12<2/3$所以也应该成立的。看来需要写个程序计算n=5和n=6的情况验算一下更加安全。当然需要无误差的计算,这个应该用现成的数学软件比较好。
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 楼主| 发表于 2008-5-9 10:43:55 | 显示全部楼层
通过使用octave结合手工计算,可以得出n=5时H最大值为3/5,n=6时H最大值为4/7<2/3
所以我们可以得到吧贴中这个不等式是成立的,只是计算过程过于复杂。
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