百度数学吧中一个未解不等式

mathe

现在看看对于$n=5$分析一下边界情况会如何 我们总可以假设$A_5=0$ 于是我们需要分析$2(A_1A_2+A_2A_3+A_3A_4)+A_1A_3+A_2A_4+A_4A_1$在$A_1+A_2+A_3+A_4=1$情况的最大值 同样需要分析边界和非边界两种情况，对于区域内部我们使用拉格朗日法可以得到方程 $[(0,2,1,1),(2,0,2,1),(1,2,0,2),(1,1,2,0)][(A_1),(A_2),(A_3),(A_4)]=[(c),(c),(c),(c)]$ 这个方程的数值解为(1/6,1/3,1/3,1/6) 对应$2(A1A2+A2A3+A3A4)+A1A3+A2A4+A4A1=7/12$,折算回去得到$n=5$情况一个极值$7/180=1/25.7..$,正好小于$1/25$ 而对于边界情况，我们再分两种情况$A_4=0$和$A_3=0$ $A_5=A_4=0$情况需要计算$2A_1A_2+2A_2A_3+A_1A_3$在$A_1+A_2+A_3=1$时的最大值 $A_5=A_3=0$情况需要计算$2A_1A_2+A_2A_4+A_4A_1$在$A_1+A_2+A_3=1$时的最大值 这些冗长的计算过程应该同前面过程差不多，谁计算一下？ 注：关于这部分，可以直接查看[url=http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=438&page=5&fromuid=20#pid4708]#42[/url]的方法（对于n=5和n=6都适用），于是我们可以得到相对较简单一些的方法

mathe

现在对于20#那个想当然的结论证明一下(注：在没有证明“无理角度”问题时） 首先我们可以知道$k_1=u1^n,k_2=u2^n,k_3=v1^n,k_4=v2^n$四个复数互不相同（其中$u1^n,u2^n$是两个实数，绝对值分别大于和小于1，$v1^n,v2^n$是共轭复数，绝对值为1，而且不是实数） 将$A_0=A_n=A_{2n}=A_{3n}=A_{4n}$代入，得到 $[(1,1,1,1),(k_1,k_2,k_3,k_4),(k_1^2,k_2^2,k_3^2,k_4^2),(k_1^3,k_2^3,k_3^3,k_4^3),(k_1^4,k_2^4,k_3^4,k_4^4)][(a_1),(a_2),(a_3),(a_4)]=[(h),(h),(h),(h),(h)]$ 其中$h=A_0-D/6$是常数

mathe

我们得到 $[(1,1,1,1),(k_1,k_2,k_3,k_4),(k_1^2,k_2^2,k_3^2,k_4^2),(k_1^3,k_2^3,k_3^3,k_4^3)][(x_1),(x_2),(x_3),(x_4)]=[(h),(h),(h),(h)]$ 有两组解$(a_1,a_2,a_3,a_4)$和$(a_1k_1,a_2k_2,a_3k_3,a_4k_4)$ 同范得蒙行列式可逆知道方程解唯一,所以必然$a_1=a_2=a_3=a_4=0$

无心人

1/4 1/4 1/4 1/8 1/8的结果是1/25.6

mathe

原帖由 无心人 于 2008-5-8 20:32 发表 1/4 1/4 1/4 1/8 1/8的结果是1/25.6

这个同我的结果不矛盾。21#给出的$A_5=0$情况的极值。对于所有5个都不是0的极值点，在20#,解出的极值是$1/25$

mathe

其实根据19#的定义。 我们如果能够证明对于n=5和n=6分别有 $H(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5)<=3/5$ (其中$A_1+A_2+A_3+A_4+A_5=1$ $H(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6)<=2/3$(其中$A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6=1$ 那么就可以证明这个问题了。 而对于这两个不等式，都是二次型,用支持符号运算的数学软件应该直接可以计算出是不是不等式成立

shshsh_0510

这个是不是可以这样考虑： 5个点围成一圈，编号为12345，开始每个点分配权重1/5 假设最优权重为a1,a2,a3,a4,a5 试图通过一种途径，逐渐增大某点权重，减小另一点权重，直到到达最优 猜想：总有一种方式使这一过程中函数值单调增（感觉是，还不知如何证） 于是对于5个点，无妨设1的权重增，分别考虑2，3减的情况，函数都不可能增长，故最优就是平均情况 n>=6时，则可以，于是其它点的权重被逐渐吸收到3点

mathe

21#继续计算可以通过验证 最后余下两个边界情况计算分别可以得出结果不超过 4/7和1/2都不超过3/5,所以对于n=5情况得到证明

mathe

而n=6的时候比较复杂，好像对于边界的最大值正好同21#的相同（也就是取A6=A5=0时得到的最大值） 这时取值$7/12<2/3$所以也应该成立的。看来需要写个程序计算n=5和n=6的情况验算一下更加安全。当然需要无误差的计算，这个应该用现成的数学软件比较好。

mathe

通过使用octave结合手工计算，可以得出n=5时H最大值为3/5，n=6时H最大值为4/7<2/3 所以我们可以得到吧贴中这个不等式是成立的，只是计算过程过于复杂。