怎么求复合后的方程？

creasson

谢谢各位了！

wayne

19# creasson

但是在不知道具体是哪两个根相加的情况下这样做是不行的

不管哪两个相加,结果都是一样的.
都是同一多项式的根,
可以证明一下.

hujunhua

就本例而言，不管哪两个相加,结果都是一样的，都是同一多项式的根。因为复合前的两个多项式都是不可约的。
特情证明也“简单”，检查确认得到的复合多项式不可约就行了。

1. In[1]=fx=-53-116x+191x^2+1393x^3-7677x^4+10429x^5-20034x^6+34395x^7-36887x^8-32235x^9-11257x^10+77061x^11+51163x^12-19040x^13-46835x^14-27874x^15-13792x^16-12785x^17-29225x^18-29750x^19-12152x^20-1820x^21-85x^22-2300x^23-2030x^24-448x^25+42x^26+21x^27-5x^28-5x^29-7x^30-7x^31+x^35;
   
2. In[2]=IrreduciblePolynomialQ[fx]
   
3. Out[1]=True

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hujunhua

已知：x是多项式f(x)的根，y是多项式g(x)的根，求：z=h(x,y)的最小多项式。

对于这个问题，18楼的方法既具有理论意义，也是实际计算的一般性方法，并且几乎是唯一可行的一般性方法。Mathematica的MinimalPolynomial[]的内核应该就是这种方法。

hujunhua

h(x,y)是二元多项式

wayne

24# hujunhua
我花了点时间google了下, 找Mathematica关于 代数数 root reduce 的算法,其实也即是MinimalPolynomial 的 算法.
无果.
现在想想,的确是不用找了! 算法就在这!!!

mathe

已知：x是多项式f(x)的根，y是多项式g(x)的根，求：z=h(x,y)的最小多项式。

对于这个问题，18楼的方法既具有理论意义，也是实际计算的一般性方法，并且几乎是唯一可行的一般性方法。Mathematica的MinimalPolynomi ...
hujunhua 发表于 2012-7-30 10:44

14楼方法也可很一般，设f(x)=0,g(y)=0,h(x,y,z)=0都是多项式。取a不是f的根，那么h*(x-a)^k mod f(x)得出若干式子后用14楼方法消去x,然后类似再消去y即可

hujunhua

建议楼主看看《代数数和代数函数》这本书。你的问题是代数数论中的基本问题：代数数构成域的证明。
所谓构成域，就是对四则运算（加、减、乘、除）封闭，我写的z=h(x,y)不过是四则运算的复合。解决了基本运算，复合叠加自然不成问题。
mathe更进一步，写成了h(x,y,z)=0, 这就不仅是四则运算的叠加了，但是z仍然是代数数。即以代数数为系数的代数方程（区别于超越方程）的根仍是代数数。在代数数论中，这个结论谓之“代数数域是一个代数闭包”。

xiaoshuchong

hujunhua 发表于 2012-7-30 10:44
已知：x是多项式f(x)的根，y是多项式g(x)的根，求：z=h(x,y)的最小多项式。

对于这个问题，18楼的方法既 ...

对于本题而言，还有一种数值方法是可行的，而且操作上更简单。

我们知道复合后的多项式是35次的，其35个根可以由原来的5次和7次方程组合得到，

然后将所有35个$z-z_i$乘起来就可以得到多项式，最后将系数取整即可。

这个方法同样是一般性的，但由于数值精度的问题，可能并不能保证所有情况下都能得到

准确的结果。


gp代码

1. getPoly() = {
   
2.     X = polroots(x^5-x-1);
   
3.     Y = polroots(y^7-y-1);
   
4.     res = 1;
   
5.     for(i = 1,5,
   
6.         for(j = 1,7,
   
7.             res *= (z-X<i>-Y[j]);
   
8.         );
   
9.         
   
10.     );
    
11.     Z = 0;
    
12.     for(i = 0,35,
    
13.         an = polcoef(res,i,v=z);
    
14.         print([i,abs(an-round(an))]);
    
15.         Z += round(an)*z^i;
    
16.     );
    
17.     print(Z);
    
18.    
    
19. };</i>

复制代码