$\sum_{k=1}^448{|sin(x+k)|}/{x+k}>5/2$

gxqcn

在帖吧里，mathe 昨天就指出“下界应该能够加强到3”， 19# 数值验证该结论。

无心人

fun 0.0 4.498160661012839 fun 3.1415926535 3.129042286079508 Prelude> fun 4.0 2.9708855681625534 Prelude> fun 10.0 2.4239213263040025 Prelude> fun 100.0 1.0807071427731874 Prelude> fun 100000.0 2.8495856645787522e-3 Prelude> fun (-0.00000001) 4.4981606726144525 Prelude> fun (-0.5) 5.011062692987865 Prelude> fun (-0.9999) 5.495928018622486 Prelude> fun (-0.9999999999999999) 5.4960439811642745 Prelude> fun (-1.000) NaN 可以看到函数的变量区间是$(-1, \infty)$ 值区间是$(5.4960439811642745 , 0)$ 在题目定义范围内 最小的值大约是$3.129042286079508$

mathe

我给个整理的版本吧。奖金500给于最早指出关键步骤的gxqcn吧。 首先证明引理 $|sin(x-1)|+|sin(x)|+|sin(x+1)|>=2sin(1)$ 记函数 $f(x)=|sin(x-1)|+|sin(x)|+|sin(x+1)|$,容易看出 $f(x)$的是以$pi$为周期的函数，而且$f(pi-x)=f(x)$ 所以我们只要证明对于$0<=x<={pi}/2$引理成立就可以了。 当$1<=x<={pi}/2$,我们有 $f(x)=sin(x-1)+sin(x)+sin(x+1)$ $=sin(x)cos(1)-cos(x)sin(1)+sin(x)+sin(x)cos(1)+cos(x)sin(1)$ $=(2cos(1)+1)sin(x)>=(2cos({pi}/3)+1)sin(x)=2sin(x)>=2sin(1)$ 而对于$0<=x<=1$,我们有 $f(x)=sin(1-x)+sin(x)+sin(1+x)$ $=2sin(1)cos(x)+sin(x)$ 记$phi=tan^{-1}(2sin(1))$,容易看出${pi}/4=min{2sin(1)cos(0)+sin(0), 2sin(1)cos(1)+sin(1)}=2sin(1)$ 于是引理得证。 现在证明原命题 $sum_{k=1}^448{|sin(x+k)|}/{k+x}$ $>=sum_{k=1}^149({|sin(x+3k-2)|}/{3k-2+x}+{|sin(x+3k-1)|}/{3k-1+x}+{|sin(x+3k)|}/{3k+x})$ ;这里扔掉了最后一项 $>=sum_{k=1}^149{|sin(x+3k-2)|+|sin(x+3k-1)|+|sin(x+3k)|}/{3k+pi}$ $>=sum_{k=1}^149 {2sin(1)}/3 1/{k+{pi}/3}$ 数值计算可以知道上面结果大于$5/2$。也可以通过放缩: $=2/3sin(1)(1/{1+{pi}/3}+1/{2+{pi}/3}+1/{3+{pi}/3}+sum_{k=4}^149 int_k^{k+1} {dx}/{k+{pi}/3})$ $>2/3sin(1)(1/{1+{pi}/3}+1/{2+{pi}/3}+1/{3+{pi}/3}+sum_{k=4}^149 int_k^{k+1} {dx}/{x+{pi}/3})$ $=2/3sin(1)(1/{1+{pi}/3}+1/{2+{pi}/3}+1/{3+{pi}/3}+int_4^150 {dx}/{x+{pi}/3})$ $=2/3sin(1) (1/{1+{pi}/3}+1/{2+{pi}/3}+1/{3+{pi}/3}+ln(150+{pi}/3)-ln(4+{pi}/3))$ $=2.5033...>5/2$

无心人

谁能验证逼近-1.0是否不存在极限？

mathe

在$x=-1.0$右极限存在。

mathe

$lim_{x->-1.0^+}sum_{k=1}^448{|sin(x+k)|}/{k+x}$ $=lim_{x->-1.0^+}{|sin(x+1)|}/{1+x} + sum_{k=2}^448{|sin(k-1)|}/{k-1}$ 其中第一项极限为1，后面一项有定义

mathe

汇款给gxqcn了，请查收一下

mathe

原帖由 gxqcn 于 2008-5-27 08:24 发表 在帖吧里，mathe 昨天就指出“下界应该能够加强到3”， 19# 数值验证该结论。

我也是数值计算验证了以后才敢说应该能够加强到3的

gxqcn

原帖由 mathe 于 2008-5-27 08:40 发表 汇款给gxqcn了，请查收一下

受之有愧。 我仅仅做的是个“验证”性的工作，也即楼主所说的关键性的那步而已， 真正的证明还是 mathe 自己证明的。

mathe

其实证明数学题思路是最重要的。有了好的思路以后，剩下就是如何将这些思路用数学语言表达出来了，这个可能需要一定的数学训练。 不过23楼证明最后一步不能直接将求和公式完全放缩到积分表达式（从1到149的积分）有点遗憾，不然证明过程看起来更加漂亮