$\sum_{k=1}^448{|sin(x+k)|}/{x+k}>5/2$

gxqcn

在帖吧里，mathe 昨天就指出“下界应该能够加强到3”，
19# 数值验证该结论。

无心人

fun 0.0
4.498160661012839
fun 3.1415926535
3.129042286079508
Prelude> fun 4.0
2.9708855681625534
Prelude> fun 10.0
2.4239213263040025
Prelude> fun 100.0
1.0807071427731874
Prelude> fun 100000.0
2.8495856645787522e-3
Prelude> fun (-0.00000001)
4.4981606726144525
Prelude> fun (-0.5)
5.011062692987865
Prelude> fun (-0.9999)
5.495928018622486
Prelude> fun (-0.9999999999999999)
5.4960439811642745
Prelude> fun (-1.000)
NaN
可以看到函数的变量区间是$(-1,  \infty)$
值区间是$(5.4960439811642745 , 0)$
在题目定义范围内
最小的值大约是$3.129042286079508$

mathe

我给个整理的版本吧。奖金500给于最早指出关键步骤的gxqcn吧。
首先证明引理
$|sin(x-1)|+|sin(x)|+|sin(x+1)|>=2sin(1)$
记函数
$f(x)=|sin(x-1)|+|sin(x)|+|sin(x+1)|$,容易看出
$f(x)$的是以$pi$为周期的函数，而且$f(pi-x)=f(x)$
所以我们只要证明对于$0<=x<={pi}/2$引理成立就可以了。
当$1<=x<={pi}/2$,我们有
$f(x)=sin(x-1)+sin(x)+sin(x+1)$
$=sin(x)cos(1)-cos(x)sin(1)+sin(x)+sin(x)cos(1)+cos(x)sin(1)$
$=(2cos(1)+1)sin(x)>=(2cos({pi}/3)+1)sin(x)=2sin(x)>=2sin(1)$
而对于$0<=x<=1$,我们有
$f(x)=sin(1-x)+sin(x)+sin(1+x)$
$=2sin(1)cos(x)+sin(x)$
记$phi=tan^{-1}(2sin(1))$,容易看出${pi}/4<phi<{pi}/2$
上面表达式可以写成
$sqrt(4sin^2(1)+1)sin(x+phi)$
这个表达式只可能在两个端点就是$x=0$或$x=1$取最小值，所以
上式
$>=min{2sin(1)cos(0)+sin(0), 2sin(1)cos(1)+sin(1)}=2sin(1)$
于是引理得证。

现在证明原命题
$sum_{k=1}^448{|sin(x+k)|}/{k+x}$
$>=sum_{k=1}^149({|sin(x+3k-2)|}/{3k-2+x}+{|sin(x+3k-1)|}/{3k-1+x}+{|sin(x+3k)|}/{3k+x})$ ;这里扔掉了最后一项
$>=sum_{k=1}^149{|sin(x+3k-2)|+|sin(x+3k-1)|+|sin(x+3k)|}/{3k+pi}$
$>=sum_{k=1}^149 {2sin(1)}/3 1/{k+{pi}/3}$
数值计算可以知道上面结果大于$5/2$。也可以通过放缩:
$=2/3sin(1)(1/{1+{pi}/3}+1/{2+{pi}/3}+1/{3+{pi}/3}+sum_{k=4}^149 int_k^{k+1} {dx}/{k+{pi}/3})$
$>2/3sin(1)(1/{1+{pi}/3}+1/{2+{pi}/3}+1/{3+{pi}/3}+sum_{k=4}^149 int_k^{k+1} {dx}/{x+{pi}/3})$
$=2/3sin(1)(1/{1+{pi}/3}+1/{2+{pi}/3}+1/{3+{pi}/3}+int_4^150 {dx}/{x+{pi}/3})$
$=2/3sin(1) (1/{1+{pi}/3}+1/{2+{pi}/3}+1/{3+{pi}/3}+ln(150+{pi}/3)-ln(4+{pi}/3))$
$=2.5033...>5/2$

无心人

谁能验证逼近-1.0是否不存在极限？

mathe

在$x=-1.0$右极限存在。

mathe

$lim_{x->-1.0^+}sum_{k=1}^448{|sin(x+k)|}/{k+x}$
$=lim_{x->-1.0^+}{|sin(x+1)|}/{1+x} + sum_{k=2}^448{|sin(k-1)|}/{k-1}$
其中第一项极限为1，后面一项有定义

mathe

汇款给gxqcn了，请查收一下

mathe

原帖由 gxqcn 于 2008-5-27 08:24 发表
在帖吧里，mathe 昨天就指出“下界应该能够加强到3”，
19# 数值验证该结论。

我也是数值计算验证了以后才敢说应该能够加强到3的

gxqcn

原帖由 mathe 于 2008-5-27 08:40 发表
汇款给gxqcn了，请查收一下

受之有愧。

我仅仅做的是个“验证”性的工作，也即楼主所说的关键性的那步而已，
真正的证明还是 mathe 自己证明的。

mathe

其实证明数学题思路是最重要的。有了好的思路以后，剩下就是如何将这些思路用数学语言表达出来了，这个可能需要一定的数学训练。
不过23楼证明最后一步不能直接将求和公式完全放缩到积分表达式（从1到149的积分）有点遗憾，不然证明过程看起来更加漂亮