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楼主: mathe

[悬赏] $\sum_{k=1}^448{|sin(x+k)|}/{x+k}>5/2$

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发表于 2008-5-27 09:21:03 | 显示全部楼层
函数似乎在负区间进入了个分段函数区域
而且是总趋向于0的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-5-27 11:16:52 | 显示全部楼层
原帖由 无心人 于 2008-5-27 09:21 发表
函数似乎在负区间进入了个分段函数区域
而且是总趋向于0的

每个间断点有一个大小为2的跳跃。此外,我们如果将f(x-1)中第一项去掉,得到结果相当于将f(x)最后一项去掉,由于最后一项结果相对很小;所以我们可以看出,
这个函数在负数部分近似以1为周期(只要不是负的太远了),而且每个间断点有个到小为2的跳跃,所以基本上每个“周期”里面值域要跨越一个大小不小于2的区间
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发表于 2008-5-27 14:59:58 | 显示全部楼层
呵呵

你看到图像了么?
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-5-27 15:27:36 | 显示全部楼层
没有
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-5-27 21:22:12 | 显示全部楼层


能否找到个比较精细的作图工具
至少支持到32位精度
支持局部放大的

要求不高吧
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-1-18 22:56:57 | 显示全部楼层
我算的最小值在$x =2\pi-4$处取得,
为 3.121830647624621968504037219727811224179507960694541347332657723780763542612147705313143984295251744,

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很好的结果,继续努力!  发表于 2014-1-19 00:45

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-1-19 00:41:02 | 显示全部楼层
上限448挺怪异的。我换成了1-500之内的任一数字。发现表达式取得最小值的时候,x可能的取值只有 \(\pi,\pi-1,2\pi-4\)这三种

===========
计算了上限为1-500的所有情况,统计如下:
当上限为{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 23, 24, 46} 时,最小值在\(x =\pi-1\)处取得。
当上限为{3, 22, 25, 44, 47, 66, 69, 91, 113, 135, 157, 179, 201} 时,最小值在\(x =\pi\)处取得。
其余的情况,最小值在\(x =2\pi-4\)处取得。

点评

因为\(x=\pi\)是边界值.  发表于 2014-1-19 11:33
在$x=m*pi-n$处取极值可以理解,曲线在这些地方会变向,但是在$x=pi$处最值比较怪  发表于 2014-1-19 11:17
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发表于 2014-1-19 01:06:31 | 显示全部楼层
A:{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 23, 24, 46}
B: {3, 22, 25, 44, 47, 66, 69, 91, 113, 135, 157, 179, 201}
序列A,B中的数据有个规律:后面的数总是前面某两个数的和或者某个数的2倍。

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还真是!这都能总结出来  发表于 2014-1-19 08:21
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发表于 2014-1-19 01:12:28 | 显示全部楼层
设$x$为实数,且$f_n(x)=sum_{k=1}^n(|sin(k*x)|/k),M_n=pi/2*max{f_n(x)},S_n=sum_{k=1}^n 1/k,则S_n<M_n<S_{n+1}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-1-19 08:55:21 | 显示全部楼层
星空其实把正确的图和结果都给出来了,后来他又删去了。害的大家以为我是在挖坟,汗。。。
我还是把图像给出来吧:
(为了让大家对这个函数 有一个全貌。我特地把x的范围扩充到\([-2\pi,2\pi]\),并把极值点也标记出来了)


123.png

  1. n=448;m=2;
  2. f[x_]=Sum[Abs[Sin[k +x]]/(k+x),{k,1,n}];
  3. Plot[f[x],{x,-m Pi,m Pi},Epilog->{Red,PointSize[0.008],
  4. Point[{2Pi-4,f[2Pi-4]}],Point[{Pi,f[Pi]}],Point[{Pi-1,f[Pi-1]}]},PlotStyle->Directive[Blue]]
复制代码

点评

呵!我相信你做的更好哈!  发表于 2014-1-19 09:13
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