$\sum_{k=1}^448{|sin(x+k)|}/{x+k}>5/2$

无心人 · 发表于 2008-5-27 09:21:03

函数似乎在负区间进入了个分段函数区域而且是总趋向于0的

mathe · 发表于 2008-5-27 11:16:52

原帖由 无心人 于 2008-5-27 09:21 发表函数似乎在负区间进入了个分段函数区域而且是总趋向于0的

每个间断点有一个大小为2的跳跃。此外，我们如果将f(x-1)中第一项去掉，得到结果相当于将f(x)最后一项去掉，由于最后一项结果相对很小；所以我们可以看出，这个函数在负数部分近似以1为周期（只要不是负的太远了），而且每个间断点有个到小为2的跳跃，所以基本上每个“周期”里面值域要跨越一个大小不小于2的区间

无心人 · 发表于 2008-5-27 14:59:58

呵呵你看到图像了么？

mathe · 发表于 2008-5-27 15:27:36

没有

无心人 · 发表于 2008-5-27 21:22:12

能否找到个比较精细的作图工具至少支持到32位精度支持局部放大的要求不高吧

wayne · 发表于 2014-1-18 22:56:57

我算的最小值在$x =2\pi-4$处取得,
为 3.121830647624621968504037219727811224179507960694541347332657723780763542612147705313143984295251744，

wayne · 发表于 2014-1-19 00:41:02

上限448挺怪异的。我换成了1-500之内的任一数字。发现表达式取得最小值的时候，x可能的取值只有 $\pi,\pi-1,2\pi-4$这三种

===========
计算了上限为1-500的所有情况，统计如下:
当上限为{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 23, 24, 46} 时，最小值在$x =\pi-1$处取得。
当上限为{3, 22, 25, 44, 47, 66, 69, 91, 113, 135, 157, 179, 201} 时，最小值在$x =\pi$处取得。
其余的情况,最小值在$x =2\pi-4$处取得。

数学星空 · 发表于 2014-1-19 01:06:31

A:{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 23, 24, 46}
B: {3, 22, 25, 44, 47, 66, 69, 91, 113, 135, 157, 179, 201}
序列A,B中的数据有个规律：后面的数总是前面某两个数的和或者某个数的2倍。

数学星空 · 发表于 2014-1-19 01:12:28

设$x$为实数，且$f_n(x)=sum_{k=1}^n(|sin(k*x)|/k),M_n=pi/2*max{f_n(x)},S_n=sum_{k=1}^n 1/k,则S_n<M_n<S_{n+1}$

wayne · 发表于 2014-1-19 08:55:21

星空其实把正确的图和结果都给出来了，后来他又删去了。害的大家以为我是在挖坟，汗。。。
我还是把图像给出来吧:
(为了让大家对这个函数有一个全貌。我特地把x的范围扩充到$[-2\pi,2\pi]$,并把极值点也标记出来了)

n=448;m=2;
f[x_]=Sum[Abs[Sin[k +x]]/(k+x),{k,1,n}];
Plot[f[x],{x,-m Pi,m Pi},Epilog->{Red,PointSize[0.008],
Point[{2Pi-4,f[2Pi-4]}],Point[{Pi,f[Pi]}],Point[{Pi-1,f[Pi-1]}]},PlotStyle->Directive[Blue]]

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