三角形中求BD的长度？

nyy

Jack315 发表于 2025-9-26 00:06
如图所示：
\(BF//EC\)、\(CF//EB\)，\(\Delta BDF\) 为正三角形。
\(BD=DF=\sqrt{4^2+(3\sqrt{2})^2-2\cd ...

AE AD用解析几何的办法非常容易求解，
我手头没有电脑，只有手机，
所以暂时没有办法求解

aimisiyou

思路不清，软件白搭。

nyy

aimisiyou 发表于 2025-9-26 08:41
思路不清，软件白搭。

以a点为原心，建立坐标系，
假设出e和d的坐标，然后就能够轻易的得到b和c的坐标，
根据bd与ec相等，列一个方程，
根据坐标计算得到bd的斜率ce的斜率，
再根据斜率的到角公式（120°）列一个方程，
由于e和d都只需要一个参数来表达坐标，因此是两个未知数。
两个方程，求解两个未知数，很容易得到求解结果！
坐标都求解出来了，然后剩下的线段的长度角度，都非常容易求解

aimisiyou

nyy 发表于 2025-9-26 09:58
以a点为原心，建立坐标系，
假设出e和d的坐标，然后就能够轻易的得到b和c的坐标，
根据bd与ec相等，列一 ...

建系一般多往已知数据条件上靠，简化计算。

nyy

aimisiyou 发表于 2025-9-26 11:00
建系一般多往已知数据条件上靠，简化计算。

求剩下的线段长度的办法呢？
你这个只是求bd=ce的长度

aimisiyou

nyy 发表于 2025-9-26 14:11
求剩下的线段长度的办法呢？
你这个只是求bd=ce的长度

图形都是唯一固定的，还不能求么？建系法、复数法、列方程勾股定理……

nyy

aimisiyou 发表于 2025-9-26 15:44
图形都是唯一固定的，还不能求么？建系法、复数法、列方程勾股定理…… ...

差不多看懂了！
但是我觉得解析几何最清楚，
解方程组的事交给软件！！！

nyy

谁用解析几何，把这个问题解决一下？

nyy

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*点坐标初始赋值*)
   
3. AA={0,0}
   
4. EE={e,0}
   
5. BB=EE+{4,0}
   
6. DD={d,d}
   
7. CC=DD+{3,3}
   
8. kk=CC-EE
   
9. k1=kk[[2]]/kk[[1]] (*CE斜率*)
   
10. kk=BB-DD
    
11. k2=kk[[2]]/kk[[1]] (*BD斜率*)
    
12. k12=(k1-k2)/(1+k1*k2) (*直线BD到直线CE的到角公式*)
    
13. (*列方程组解决问题*)
    
14. ans=Solve[{
    
15.     k12==Tan[120*Degree],(*到角120°*)
    
16.     EuclideanDistance[CC,EE]==EuclideanDistance[BB,DD](*两个距离相等BD=CE*)
    
17. },{d,e}]//Simplify
    
18. aaa=StringJoin@@@Subsets[{"A","B","C","D","E"},{2}]
    
19. bbb=FullSimplify[EuclideanDistance@@@Subsets[{AA,BB,CC,DD,EE},{2}]/.ans[[2]]]
    
20. ccc=Thread[aaa->bbb]
    
21. Grid[Transpose[{ccc}],Alignment->Left](*转置列表显示*)
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{d\to \frac{1}{6} \left(-7 \sqrt{3}-9\right),e\to -2-\frac{5}{\sqrt{3}}\right\},\left\{d\to \frac{1}{2} \left(7 \sqrt{3}-3\right),e\to 5 \sqrt{3}-2\right\}\right\}\]

所有线段长度
\[\begin{array}{l}
\text{AB}\to 5 \sqrt{3}+2 \\
\text{AC}\to \sqrt{21 \sqrt{3}+78} \\
\text{AD}\to \sqrt{78-21 \sqrt{3}} \\
\text{AE}\to 5 \sqrt{3}-2 \\
\text{BC}\to \sqrt{12 \sqrt{3}+46} \\
\text{BD}\to \sqrt{58} \\
\text{BE}\to 4 \\
\text{CD}\to 3 \sqrt{2} \\
\text{CE}\to \sqrt{58} \\
\text{DE}\to \sqrt{46-12 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]

nyy

nyy 发表于 2025-10-21 09:53
求解结果
\[\left\{\left\{d\to \frac{1}{6} \left(-7 \sqrt{3}-9\right),e\to -2-\frac{5}{\sqrt{3}}\ri ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*点坐标初始赋值*)
   
3. AA={0,0}
   
4. EE={e,0}
   
5. BB=EE+{4,0}
   
6. DD={d,d}
   
7. CC=DD+{3,3}
   
8. OO={xo,yo}
   
9. (*计算斜率*)
   
10. kk=CC-EE
    
11. k1=kk[[2]]/kk[[1]] (*CE斜率*)
    
12. kk=BB-DD
    
13. k2=kk[[2]]/kk[[1]] (*BD斜率*)
    
14. k12=(k1-k2)/(1+k1*k2) (*直线BD到直线CE的到角公式*)
    
15. (*列方程组解决问题*)
    
16. ans=Solve[{
    
17.     k12==Tan[120*Degree],(*到角120°*)
    
18.     EuclideanDistance[CC,EE]==EuclideanDistance[BB,DD],(*两个距离相等BD=CE*)
    
19.     Det[{CC~Join~{1},OO~Join~{1},EE~Join~{1}}]==0,(*COE三点共线*)
    
20.     Det[{BB~Join~{1},OO~Join~{1},DD~Join~{1}}]==0(*BOD三点共线*)
    
21. },{d,e,xo,yo}]//Simplify
    
22. aaa=StringJoin@@@Subsets[{"A","B","C","D","E","O"},{2}](*列举出所有的线段*)
    
23. bbb=FullSimplify[EuclideanDistance@@@Subsets[{AA,BB,CC,DD,EE,OO},{2}]/.ans[[2]]](*求解出所有的线段的长度*)
    
24. ccc=Thread[aaa->bbb](*线段与线段长度对应起来*)
    
25. Grid[Transpose[{ccc}],Alignment->Left](*转置列表显示*)
    

复制代码

方程组求解结果
\[\left\{\left\{d\to \frac{1}{6} \left(-7 \sqrt{3}-9\right),e\to -2-\frac{5}{\sqrt{3}},\text{xo}\to -\frac{61}{29 \sqrt{3}},\text{yo}\to -\frac{22}{29 \sqrt{3}}\right\},\left\{d\to \frac{1}{2} \left(7 \sqrt{3}-3\right),e\to 5 \sqrt{3}-2,\text{xo}\to \frac{117 \sqrt{3}}{29},\text{yo}\to \frac{46 \sqrt{3}}{29}\right\}\right\}\]

所有线段长度
\[\begin{array}{l}
\text{AB}\to 5 \sqrt{3}+2 \\
\text{AC}\to \sqrt{21 \sqrt{3}+78} \\
\text{AD}\to \sqrt{78-21 \sqrt{3}} \\
\text{AE}\to 5 \sqrt{3}-2 \\
\text{AO}\to \sqrt{\frac{1635}{29}} \\
\text{BC}\to \sqrt{12 \sqrt{3}+46} \\
\text{BD}\to \sqrt{58} \\
\text{BE}\to 4 \\
\text{BO}\to 4 \sqrt{\frac{1}{29} \left(7 \sqrt{3}+26\right)} \\
\text{CD}\to 3 \sqrt{2} \\
\text{CE}\to \sqrt{58} \\
\text{CO}\to \sqrt{\frac{6}{29} \left(20 \sqrt{3}+79\right)} \\
\text{DE}\to \sqrt{46-12 \sqrt{3}} \\
\text{DO}\to \sqrt{\frac{6}{29} \left(79-20 \sqrt{3}\right)} \\
\text{EO}\to 4 \sqrt{\frac{1}{29} \left(26-7 \sqrt{3}\right)} \\
\end{array}
\]