只用四则运算，至少要多少个114514可以计算出1919810？

northwolves

只用四则运算，至少要多少个114514可以计算出1919810？

With only four arithmetic operations, how many  114514   are needed to calculate  1919810 ?

28个数的方案如下：

$1919810=\left(\frac{(x+x) (x+x+x+x) \left(x+x+\frac{x+x}{x}\right)}{x*x}-\frac{x-\frac{x+x}{x}}{\frac{x}{x+x+x+x}+\frac{x+x+x+x}{x}}\right)+x$

计算原理：

$x=114514;1919810=\frac{285x+280}{17}=8(2x+2)-\frac{4(x - 2)}{17}+x$

请搜索更少数字的方案。

王守恩

$1919810 =  x + (x + x + x + x) (\frac{x + x - x*x}{(x + x + x + x) (x + x + x + x) + x*x} + \frac{(x + x + x + x) (x + x/x)}{x*x})$

王守恩

也就这么个思路。再小应该小不了。

1919180——可以换。——换汤不换药。

=(17-4/17)x+16+8/17

=x+16x+16+(8-4x)/17

=x+4*4(x+1)+4(2-x)/17

=x+4x*4x(x+1)/x*x+4x(2-x)x/(17x*x)

=x+4x(4x(x+1)/x*x+(2-x)x/(4x*4x+x*x))

王守恩

看看这个方程——这题目是个陷阱。

1. Solve[{(u + x/k) 114514 + y/k == 1919810, u > 0, k > 0, k > Abs[x],  y > 0, 400 > Abs[x] + y}, {u, x, y, k}, Integers]

复制代码

王守恩

解题思路没问题。
Solve[{(u + x/k) 114514 + v + y/k == 1919810, u > 0, 90 > k > 0, k > Abs[x] > 0, 30 > v > 0, k > y > 0}, {u, v, x, y, k}, Integers]
{{u -> 16, v -> 16, x -> 13, y -> 8, k -> 17},
{u -> 16, v -> 16, x -> 26, y -> 16, k -> 34},
{u -> 16, v -> 16, x -> 39, y -> 24, k -> 51},
{u -> 16, v -> 16, x -> 52, y -> 32, k -> 68},
{u -> 16, v -> 16, x -> 65, y -> 40, k -> 85},
{u -> 17, v -> 16, x -> -20, y -> 40, k -> 85},
{u -> 17, v -> 16, x -> -16, y -> 32, k -> 68},
{u -> 17, v -> 16, x -> -12, y -> 24, k -> 51},
{u -> 17, v -> 16, x -> -8,  y -> 16, k -> 34},
{u -> 17, v -> 16, x -> -4,  y -> 8,  k -> 17}}

Ickiverar

写了个暴力搜索程序，看起来需要10^20分钟才能搜到n=28……

mathe

https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=461&extra=page%3D1&page=1&mobile=2
给出了n个不同数字构成的不等价表达式数目。
这里需要的是n个相同数构成表达式数目，可以先估计一下复杂度看看

Ickiverar

Ickiverar 发表于 2025-10-20 22:07
写了个暴力搜索程序，看起来需要10^20分钟才能搜到n=28……

内存爆了。没法算了。
不过下限是15个x，因为14个没有搜到。

mathe

很可能28已经最好了。我限制了中间结果的分子分母都不超过8*10^18, 然后搜索到15，
在将它们之间的结果两两匹配，至少需要28个数，有三种方案都可以达到，不过看上去应该都等价的

1. 
   
2. Found best 28=13+15
   
3. 1919810==87570+1832240
   
4. 1832240==209817131360/114514(1,12)
   
5. 209817131360==24026998980559040/114514(1,11)
   
6. 24026998980559040==229028*104908565680(2,9)
   
7. 229028==114514--114514(1,1)
   
8. 104908565680==458056*229030(4,5)
   
9. 458056==114514--343542(1,3)
   
10. 343542==114514--229028(1,2)
    
11. 229028==114514--114514(1,1)
    
12. 229030==114514--114516(1,4)
    
13. 114516==114514--2(1,3)
    
14. 2==229028/114514(1,2)
    
15. 229028==114514--114514(1,1)
    
16. 87570==114514-26944(1,14)
    
17. 26944==114512/17/4(4,10)
    
18. 114512==114514-2(1,3)
    
19. 2==229028/114514(1,2)
    
20. 229028==114514--114514(1,1)
    
21. 17/4==1/4--4(5,5)
    
22. 1/4==114514/458056(1,4)
    
23. 458056==114514--343542(1,3)
    
24. 343542==114514--229028(1,2)
    
25. 229028==114514--114514(1,1)
    
26. 4==458056/114514(1,4)
    
27. 458056==114514--343542(1,3)
    
28. 343542==114514--229028(1,2)
    
29. 229028==114514--114514(1,1)
    
30. Found best 28=14+14
    
31. 1919810==1946754-26944
    
32. 26944==114512/17/4(4,10)
    
33. 114512==114514-2(1,3)
    
34. 2==229028/114514(1,2)
    
35. 229028==114514--114514(1,1)
    
36. 17/4==1/4--4(5,5)
    
37. 1/4==114514/458056(1,4)
    
38. 458056==114514--343542(1,3)
    
39. 343542==114514--229028(1,2)
    
40. 229028==114514--114514(1,1)
    
41. 4==458056/114514(1,4)
    
42. 458056==114514--343542(1,3)
    
43. 343542==114514--229028(1,2)
    
44. 229028==114514--114514(1,1)
    
45. 1946754==114514--1832240(1,13)
    
46. 1832240==209817131360/114514(1,12)
    
47. 209817131360==24026998980559040/114514(1,11)
    
48. 24026998980559040==229028*104908565680(2,9)
    
49. 229028==114514--114514(1,1)
    
50. 104908565680==458056*229030(4,5)
    
51. 458056==114514--343542(1,3)
    
52. 343542==114514--229028(1,2)
    
53. 229028==114514--114514(1,1)
    
54. 229030==114514--114516(1,4)
    
55. 114516==114514--2(1,3)
    
56. 2==229028/114514(1,2)
    
57. 229028==114514--114514(1,1)
    
58. Found best 28=14+14
    
59. 1919810==-26944+1946754
    
60. 1946754==114514--1832240(1,13)
    
61. 1832240==209817131360/114514(1,12)
    
62. 209817131360==24026998980559040/114514(1,11)
    
63. 24026998980559040==229028*104908565680(2,9)
    
64. 229028==114514--114514(1,1)
    
65. 104908565680==458056*229030(4,5)
    
66. 458056==114514--343542(1,3)
    
67. 343542==114514--229028(1,2)
    
68. 229028==114514--114514(1,1)
    
69. 229030==114514--114516(1,4)
    
70. 114516==114514--2(1,3)
    
71. 2==229028/114514(1,2)
    
72. 229028==114514--114514(1,1)
    
73. 26944==114512/17/4(4,10)
    
74. 114512==114514-2(1,3)
    
75. 2==229028/114514(1,2)
    
76. 229028==114514--114514(1,1)
    
77. 17/4==1/4--4(5,5)
    
78. 1/4==114514/458056(1,4)
    
79. 458056==114514--343542(1,3)
    
80. 343542==114514--229028(1,2)
    
81. 229028==114514--114514(1,1)
    
82. 4==458056/114514(1,4)
    
83. 458056==114514--343542(1,3)
    
84. 343542==114514--229028(1,2)
    
85. 229028==114514--114514(1,1)
    
86. Done!
    

复制代码

northwolves

mathe 发表于 2025-10-21 14:16
很可能28已经最好了。我限制了中间结果的分子分母都不超过8*10^18, 然后搜索到15，
在将它们之间的结果两两 ...

貌似难以绕过$\frac{17}{4}$