只用四则运算，至少要多少个114514可以计算出1919810？

mathe

这个应该27次方案:
\(1919810=5\left(3+3x+\frac x{x-\frac{x^2-2x}{x+\frac56}}\right)\)
6+4+3 +1+1+2+2+1+7=27

\(\frac{x+x+x+x+x}x\left(\frac{x+x+x}x+x+x+x+\frac x{x-\frac{x\times x-x-x}{x+\frac x{x+x}+\frac x{x+x+x}}}\right)\)

王守恩

mathe 发表于 2025-10-22 16:29
这个应该27次方案:
\(1919810=5\left(3+3x+\frac x{x-\frac{x^2-2x}{x+\frac56}}\right)\)
6+4+3 +1+1+2+2+ ...

学习！

\(1919810=\frac{285x+280}{17}=5\big(\frac{57x+56}{17}\big)=5\big(3x+3+\frac{6x+5}{17}\big)=5\big(3(x+1)+\frac{x(6x+5)}{17x}\big)=5\big(3(x+1)+\frac{x}{17x/(6x+5)}\big)\)


\(=5\big(3(x+1)+\frac{x}{x+(17x-x(6x+5))/(6x+5)}\big)=5\big(3(x+1)+\frac{x}{x+(12x-6x^2)/(6x+5)}\big)=5\big(3(x+1)+\frac{x}{x+(2x-x^2)/(x+5/6)}\big)\)


\(=5\big(3(x+1)+\frac{x}{x+(2x-x^2)/(x+1/2+1/3)}\big)=\frac{x + x + x + x + x}{x} \big(\frac{(x + x + x) (x+x/x)}{x} +\frac{x}{x + (x + x - x*x)/(x + x/(x + x) + x/(x + x + x))}\big)\)

想要的是方法。

\(216981=\frac{36x+135}{19}=3\big(\frac{12x+45}{19}\big)=3\big(2+\frac{12x+7}{19}\big)=3\big(2+\frac{x(12x+7)}{19x}\big)=3\big(2+\frac{x}{19x/(12x+7)}\big)\)


\(=3\big(2+\frac{x}{x+(19x-x(12x+7))/(12x+7)}\big)=3\big(2+\frac{x}{x+(12x-12x^2)/(12x+7)}\big)=3\big(2+\frac{x}{x+(x-x^2)/(x+7/12)}\big)\)


\(=3\big(2+\frac{x}{x+(x-x^2)/(x+1/3+1/4)}\big)=\frac{x + x + x}{x} \big(\frac{x + x}{x} +\frac{x}{x + ( x - x*x)/(x + x/(x +x+ x) + x/(x + x +x+ x))}\big)\)

mathe

双向搜索，好像找到25个数的了,
Found best 25=15+11
match 5619889064
5619889064=R=5619545522--343542(12,3)
5619545522=R=114514/1/49073(11,1)
1/49073=R=264/90637831--1/57257(7,4)
264/90637831=R=1/3/90637831/792(3,4)
90637831/792=R=114514-57257/792(2,1)
57257/792=R=114514/1584(1,1)
1/3==114514/343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
1/57257==2/114514(1,3)
2==229028/114514(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
5619889064==5620003578-114514(1,10)
5620003578==13113341682/7/3(3,7)
13113341682==13113456196-114514(1,2)
13113456196==114514*114514(1,1)
7/3==2--1/3(3,4)
2==229028/114514(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
1/3==114514/343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)

mathe

现在基本上可以认定27是最优解，只是由于计算资源所限，还不能完全确定。
我们记x=114514, y=1919810.
我们的目标是寻找一个y=f(x)的表达式，其中f(x)是关于x的四则混合运算。我们知道f(x)可以表示为一个二叉树，其中最顶层，必然可以写成
u(x) op v(x)的形式。通常u(x)和v(x)中包含x的数目不均匀，不凡设v(x)中含x的数目更少，于是我们通常可以把表达式重写为
y op2 v(x) = u(x), 或者
A(y,x)=u(x)
其中A(y,x)是关于一个y和若干个x的四则混合运算，u(x)是关于若干个x的四则混合运算。
同样对于表达式A(y,x),如果它包含的y和x的数目还是很少，我们可以继续将二叉树u(x)的一个分支转移到A(y,x), 使得两边包含数字数目尽量接近。
实际计算结果表示，相同数目的数字，左边表达式能够产生的值会更多一些。
我们假设集合S(n)为包含一个y和n-1个x进行四则混合运算能够达到但是一个y和更少数目的x的四则混合运算无法达到的集合。
T(n)为n个x进行四则混合运算能够达到，但是更少x的四则混合运算无法达到的集合。
于是T(1)={x}, S(1)={y}
\(T(n)=\cup_{o="+-*/"}\cup_{k=1}^{n-1} T(k) o T(n-k)\)
\(S(n)=\cup_{o="+-*/"}(\cup_{k=1}^{n-1} T(k) o S(n-k) \cup S(k) o T(n-k)) \)
于是如果\(a\in T(u) \cap S(v) \), 我们就可以从T(u)和S(v)中找到能够达到相同值的公共表达式，也就是表明可以使用u+v-1个x表示最终值y。
其中有一个唯一的问题是 \( 0 \in T(2)\), 这会导致\(0 \in S(3)\), 实际上这个对应表达式\(x-x = (x-x)y\),实际上我们并不能从中解出y.
实际上我们很容易判断出一个关于y的最短表达式的计算中间结果是不能出现0的，所以我们可以将所有的0从T(n), S(n)中都删除。

然后我们假设某个表达式
A(y,x)=u(x)
左边包含s个数字，右边包含t个数字，而且s<t,
那么右边的表达式树必然有一个分支含k(不超过t/2)个数字，我们可以通过将这个分支挪到左边，变成左边s+k个数字，右边t-k个数字。
我们现在的目标是需要穷举所有包含一个y和不超过26个x的表达式， 所以这是\(s+t<=27\)
如果其中\(t>=20\),那么\(s<=7\), 我们必然可以将\(\lfloor \frac t2\rfloor\)个字母转移到左边，使得左边字母数目不大于\(s+\lfloor \frac {27-s}2\rfloor\le \lfloor \frac {27+s}2\le 17\rfloor\)
由此可见，只要我们能够穷举\(s\le 17, t\le 19\)的所有组合都没有找到包含一个y和不超过26个x的等式，那么就可以证明27个x是最优表达式。

唯一的问题是如下表，其中各行中c1,c2分别代表T(i)和S(i)中非零元素数目，特别S(i)的数目增长很快，会导致内存快速不够用。
i=2: c1=3,c2=5
i=3: c1=10,c2=25
i=4: c1=35,c2=128
i=5: c1=129,c2=643
i=6: c1=485,c2=3205
i=7: c1=1902,c2=15809
i=8: c1=7651,c2=78118
i=9: c1=31672,c2=387093
i=10: c1=134239,c2=1923118
i=11: c1=581178,c2=9582147
i=12: c1=2562995,c2=47893936

为此，我先做了一个限定，只保留T(i)和S(i)中分子和分母都不超过\(8*10^{15}\)的数字（计算中间结果也需要满足这个条件），在这个约束下，我们得到
i=2: c1=3,c2=5
i=3: c1=10,c2=24
i=4: c1=34,c2=114
i=5: c1=121,c2=526
i=6: c1=430,c2=2273
i=7: c1=1530,c2=9185
i=8: c1=5276,c2=36151
i=9: c1=17743,c2=137627
i=10: c1=59097,c2=504415
i=11: c1=192625,c2=1797383
i=12: c1=604914,c2=6203005
i=13: c1=1874928,c2=20806957
i=14: c1=5672229,c2=68007584
i=15: c1=16838363,c2=216890645
i=16: c1=49039574,c2=676209817
i=17: c1=140476738,c2=2064943566
i=18: c1=396407732,c2=0
i=19: c1=1102177249,c2=0
其中S(18)和S(19)没有计算，而不是它们数目为0.
然后在此限定之下，的的确确验证了27个x已经是最优的了，比如

Found best 27=14+14
match 40417
40417=R=383962-343545(7,7)
383962=R=1919810/5(1,6)
5==572570/114514(1,5)
572570==114514--458056(1,4)
458056==114514--343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
343545==114514--229031(1,6)
229031==114514--114517(1,5)
114517==114514--3(1,4)
3==343542/114514(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
40417==114514/114514/40417(1,13)
114514/40417==114514-4628197824/40417(1,12)
4628197824/40417==13113227168/687089/6(4,8)
13113227168==13113341682-114514(1,3)
13113341682==13113456196-114514(1,2)
13113456196==114514*114514(1,1)
687089/6==114514--5/6(1,7)
5/6==1/2--1/3(3,4)
1/2==114514/229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
1/3==114514/343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)

比如上面40417=R=383962-343545(7,7)中=R=代表右边会使用一个数字y
而13113227168==13113341682-114514(1,3)中==代表右边仅使用数字x.

王守恩

继续学习！——这是最小的？——当然, 可以有很多变化。譬如：\(\frac{6x+5}{11}=>\frac{6x+5}{17}=>\frac{57x+56}{17}=>\frac{285x+280}{17}\dots\dots\)

\(\frac{2x+3}{5}=\frac{x}{5x/(2x+3)}=\frac{x}{x+(5x-x(2x+3))/(2x+3)}=\frac{x}{x+(2x-2x*x)/(2x+3)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+3/2)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x) + x/(x+ x))}\)

\(\frac{3x+4}{7}=\frac{x}{7x/(3x+4)}=\frac{x}{x+(7x-x(3x+4))/(3x+4)}=\frac{x}{x+(3x-3x*x)/(3x+4)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+4/3)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x) + x/(x + x + x))}\)

\(\frac{6x+5}{11}=\frac{x}{11x/(6x+5)}=\frac{x}{x+(11x-x(6x+5))/(6x+5)}=\frac{x}{x+(6x-6x*x)/(6x+5)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+5/6)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x + x) + x/(x + x + x))}\)

\(\frac{8x+6}{14}=\frac{x}{14x/(8x+6)}=\frac{x}{x+(14x-x(8x+6))/(8x+6)}=\frac{x}{x+(8x-8x*x)/(8x+6)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+6/8)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x + x) + x/(x + x+x + x))}\)

\(\frac{12x+7}{19}=\frac{x}{19x/(12x+7)}=\frac{x}{x+(19x-x(12x+7))/(12x+7)}=\frac{x}{x+(12x-12x*x)/(12x+7)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+7/12)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x+x+x) + x/(x+x+x+x))}\)

\(\frac{15x+8}{23}=\frac{x}{23x/(15x+8)}=\frac{x}{x+(23x-x(15x+8))/(15x+8)}=\frac{x}{x+(15x-15x*x)/(15x+8)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+8/15)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x +x+ x) + x/(x +x+x+ x + x))}\)

\(\frac{20x+9}{29}=\frac{x}{29x/(20x+9)}=\frac{x}{x+(29x-x(20x+9))/(20x+9)}=\frac{x}{x+(20x-20x*x)/(20x+9)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+9/20)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x+x+x+x) + x/(x+x+x+x+x))}\)

\(\frac{24x+10}{34}=\frac{x}{34x/(24x+10)}=\frac{x}{x+(34x-x(24x+10))/(24x+10)}=\frac{x}{x+(24x-24x*x)/(24x+10)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+10/24)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x +x+x+ x) + x/(x +x+x+x+ x + x))}\)

\(\frac{30x+11}{41}=\frac{x}{41x/(30x+11)}=\frac{x}{x+(41x-x(30x+11))/(30x+11)}=\frac{x}{x+(30x-30x*x)/(30x+11)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+11/30)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x+x+x+x+x) + x/(x+x+x+x+x+x))}\)

\(\frac{35x+12}{47}=\frac{x}{47x/(35x+12)}=\frac{x}{x+(47x-x(35x+12))/(35x+12)}=\frac{x}{x+(35x-35x*x)/(35x+12)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+12/35)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x +x+x+x+ x) + x/(x +x+x+x+x+ x + x))}\)

\(\frac{42x+13}{55}=\frac{x}{55x/(42x+13)}=\frac{x}{x+(55x-x(42x+13))/(42x+13)}=\frac{x}{x+(42x-42x*x)/(42x+13)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+13/42)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x+x+x+x+x+x) + x/(x+x+x+x+x+x+x))}\)

\(\frac{48x+14}{62}=\frac{x}{62x/(48x+14)}=\frac{x}{x+(62x-x(48x+14))/(48x+14)}=\frac{x}{x+(48x-48x*x)/(48x+14)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+14/48)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x +x+x+x+x+ x) + x/(x+x+x+x+x+x + x + x))}\)

\(\frac{56x+15}{71}=\frac{x}{71x/(56x+15)}=\frac{x}{x+(71x-x(56x+15))/(56x+15)}=\frac{x}{x+(56x-56x*x)/(56x+15)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+15/56)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x+x+x+x+x+x+x) + x/(x+x+x+x+x+x+x+x))}\)

\(\frac{63x+16}{79}=\frac{x}{79x/(63x+16)}=\frac{x}{x+(79x-x(63x+16))/(63x+16)}=\frac{x}{x+(63x-63x*x)/(63x+16)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+16/63)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x +x+x+x+x+x+ x) + x/(x +x+x+x+x+x+x+ x + x))}\)

\(\frac{72x+17}{89}=\frac{x}{89x/(72x+17)}=\frac{x}{x+(89x-x(72x+17))/(72x+17)}=\frac{x}{x+(72x-72x*x)/(72x+17)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+17/72)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x+x+x+x+x+x+x+x) + x/(x+x+x+x+x+x+x+x+x))}\)

\(\frac{80x+18}{98}=\frac{x}{98x/(80x+18)}=\frac{x}{x+(98x-x(80x+18))/(80x+18)}=\frac{x}{x+(80x-80x*x)/(80x+18)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x+18/80)}=\frac{x}{x+(x-x*x)/(x + x/(x+x+x+x+x+x+x+x) + x/(x+x+x+x+x+x+x+x+x+x))}\)

northwolves

$\frac{3x+2}{5}=\frac {(x + x + x)\times  x + (x + x)} {x + x + x + x + x}=x-\frac{x-\frac{x}{x}}{\frac{x}{x+x}+\frac{x+x}{x}}=x-\frac{x*x-x}{\frac{x*x}{x+x}+(x+x)}$